一种两自由度5R平面高速并联机器人运动性能及动力学分析*

赵 威 姜桂林

(①常州机电职业技术学院，江苏 常州 213164；②上海市农业机械研究所，上海 201106)

并联机构由于具有刚度大、精度高、承载能力强、无累积误差等优点得到广泛研究和应用。设计时，人们总是期望并联机构具备良好的工作空间大小和形状，以适用于特定的工作场合。除了工作空间，奇异性和各向同性是也衡量并联机构运动性能的重要指标。对于平面并联运动机器人，尽管结构简单，但机构的参数优化是一项较为复杂的过程，目前仍是工业应用领域值得关注的主题[1-2]。

平面两自由度(DOF)并联机构形式较多，其中应用最多的是平面 5R 机构(R表示转动副)。刘辛军对平面 5R 机构进行了系统的分析，解决了其工作空间、位置奇异以及运动学设计问题[3]；张立杰全面分析了平面 5R 机构的运动学性能，并进行了优化设计[4]；张耀欣从机构优化设计、运动学标定以及轨迹跟踪等方面对平面 5R机构进行了研究[5]。文献[6]采用数值法和几何法分析了机构的奇异性；文献[7-8]分析了两自由度并联机构的各向同性以及各个方向上机构的运动静力特征。

本文在传统5R机构的基础上，设计1种驱动杆同轴的2-DOF并联机构，使机构结构上更加简洁，运动性能更好。文中根据机构的运行学方程，分析了其工作空间、奇异位形以及雅可比条件数等运动性能指标，以各向同性为目标得到机构尺度参数；根据虚功原理建立了机构的动力学方程，通过数值模拟并得到机构速度、加速度和驱动力矩等相关曲线图。

1 机构设计

平面5R并联机器人是平面2自由度并联机器人机构的典型代表，其在并联领域中，自由度最少，结构简单，单闭环，有较好的工作空间和灵活度，易于控制，便于实际应用，且能实现平面上任意轨迹。常见的平面5R并联机构的构型如图1a所示，由5根杆组成，由两条RRR支链组成，驱动副与静平台相连于O1、O2处，机构动平台收缩成一点P。当O1、O2重合布置时，即驱动副同轴，如图1b所示。此时，机构的工作空间达到最大，且机构结构紧凑、占地空间小。

2 运动学分析

在图1b中O点处建立坐标系O-xy，x轴水平向右，y轴竖直向上，则机器人执行末端的坐标可表示为P(x，y)。A、B点的坐标分别为：

(1)

根据图1b中各杆的矢量关系，可得

s=l1iai+l2ibi(i=1,2)

(2)

式中：s表示P点的位置矢量，ai、bi分别为驱动杆OA、OB和从动杆AP、BP的单位矢量，l1i、l2i分别为主动杆和从动杆的杆长。

由式(2)可得机构的运动方程为：

(3)

2.1 位置正反解

根据方程(3)，给定P点坐标(x，y)，可得驱动角度θ1、θ2的方程表达式：

misinθi+nicosθi+ηi=0 (i=1,2)

(4)

由此可求解机构的逆解方程为

(5)

若给定驱动角度θ1、θ2，方程(4)可转化为

x2+y2+six+tiy+λi=0

(6)

式(6)为二元二次方程组，可求得运动正解，即执行末端的位置方程x、y。

2.2 雅可比矩阵

对式(3)两边求导，可得

(7)

式中：Jq、Jφ分别为执行器末端雅可比矩阵和驱动雅可比矩阵，其中

当Jq≠0时，由式(7)可得

(8)

3 机构运动性能分析

3.1 奇异性分析

机构的奇异状态可通过速度雅可比矩阵Jφ和Jq进行判断。

当行列式det(Jφ)=0，且det(Jq)≠0时，机构发生逆解奇异，此时有两种可能性：杆OA与杆AP共线，或杆OB与杆BP共线。

当行列式det(Jq)=0，且det(Jφ)≠0时，机构发生正解奇异，此时有四种可能性：杆AP处于水平位置或竖直位置，或杆BP处于水平位置或竖直位置。

由于本机构的雅可比矩阵的秩和任务空间维数相同，避免了机构可能发生的内部奇异。在满足几何条件的情况下，机构具有完全各向同性。

3.2 工作空间

工作空间的约束包括杆长约束和角度约束，本机构工作空间主要取决于驱动角度和四杆杆长约束。根据文献[9]，对于5R两自由度并联机构，当两驱动运动副同轴时，工作空间达到最大。为了便于分析，令l11=l21=a，l12=l22=b，这种结构各向同性的几何条件是从动杆相互垂直AP⊥BP，即α=90°。此时，各向同性的工作空间是以O为圆心、OP为半径形成的同心圆如图3所示，其区域半径为：

(9)

3.3 雅可比条件数

通常，雅可比条件数被用来描述机器人的灵活性，可描述为雅可比矩阵奇异值的最大值和最小值之比

(10)

式中：σmin、σmax分别为雅可比矩阵最小、最大奇异值。当cond(J)=1时，最大奇异值和最小奇异值相等，机器人处于各向同性，此时机构灵活度最高。

4 动力学分析

4.1 速度分析

令主动臂长l11=l21=l1，从动臂长l12=l22=l2，由式(8)可得机构主动臂质心的角速度矢量表达式

ω1i=Jivp

(11)

故驱动臂质心的线速度可表达为

(12)

对矢量方程(2)两边求导，可得机构执行末端P点的速度矢量表达式

vp=l1ω1i×ai+l2ω2i×bi

(13)

对式(13)两侧同时点乘ai，消去矢量ω1i，可得

aivp=l2ω2i(bi×ai)

(14)

由式(14)可得从动臂质心的角速度为

(15)

由于从动臂的末端即机构的执行末端P点，故从动臂质心的线速度可表达为

(16)

4.2 加速度分析

分别对式(11)、(12)两边求导，可得驱动臂质心的角加速度和线加速度分别为

(17)

(18)

对式(13)两边求关于时间的导数可得

(19)

两边点乘ai，可得从动臂质心的角加速度为

(20)

对式(16)两边求导，可得从动臂的线加速度

(21)

4.3 动力学方程

根据达朗贝尔原理，作用于各构件质心上的力包含重力和惯性力。由于本机构执行末端收缩为一点P点，故不存在动平台。设驱动电机上的力矩为i，则电机驱动广义力为主动臂在驱动力矩作用下产生的相应转角记为对应的虚位移记为

主动臂质心处的作用力和作用力矩分别为

(22)

(23)

式中：m1为主动臂的质量;I1i为主动臂关于其质心的转动惯量;g为重力加速度矢量。

设定主动臂质心的线位移矢量和角位移矢量分别为δx1iv和δx1iw，则根据式(11)、(12)可得

δx1iw=Jivp=JiJ-1δq

(24)

(25)

从动臂质心处的作用力和作用力矩分别为

(26)

(27)

式中：m2为从动臂的质量;I2i为从动臂关于其质心的转动惯量。

设定从动臂质心的线位移矢量和角位移矢量分别为δx2iv和δx2iw，则根据式(20)、(21)，可得

(28)

(29)

根据虚功原理，建立机构的动力学方程可得

(30)

式中：Fp为作用在P点的外载荷，δP为机构P点的虚位移。

将式(11)～(29)代入方程(30)，消去δq，整理可得机构的逆动力学方程。

5 仿真分析

机构构件采用轻质杆材料，参数选择按照上述运动性能结论确定，取l1/l2=0.765，设定参数如表1所示。

表1 机构参数数值表

根据应用场景，以输出点P到原点O的距离S作为机构的运动规律，采用多项式进行拟合，如图6所示，其拟合表达式为：

(31)

为了分析机构参数对驱动力矩的影响规律，指定P点在其工作空间范围内沿如图5所示的运动轨迹运动，采用Matlab软件进行仿真计算，得到主动臂和从动臂的加速度、角加速度变化曲线如图7、8所示，得到主动臂的驱动力变化如图9所示。可见，驱动力矩变化平缓，加速度幅值变化较大，但曲线平滑，机构具有较好的加速能力。

6 结语

(1)设计了一种两驱动同轴的5R平面并联机器人机构，结构上更加简洁，运动性能更好。该机构可以用于精密点焊、精确定位，也可广泛应用用于流水线中零件高速抓拿和装配。

(2)在机构运动学方程的基础上，分析了机构的工作空间、奇异位形、雅可比条件数等运行性能指标，以各项同性为性能目标确定了机构主、从构件的尺度参数。

(3)推导了机构各构件的速度、加速度矢量表达式，根据虚功原理方法建立了机构的动力学方程；以点P给定运动轨迹为目标，计算得到驱动力矩的变化规律。