基于不定长气隙的向心力磁力轴承精确建模

杨恒坤，倪 剑，夏伟东

（中国商飞公司民用飞机试飞中心，上海 200000）

混合磁轴承由于其结构紧凑、功耗低、无摩擦等优点，被广泛用作高速旋转系统的理想支撑装置[1]。在结构设计方面，混合磁轴承的定子和转子通常设计为圆柱形拓扑结构[2]。在文献[3]中，提出了一种新型的向心力型磁轴承（向心力磁轴承），其中定子和转子为球形拓扑结构，优于圆柱形磁轴承，其独特的球形结构可以消除转子偏转时产生的平行于转子轴线的干涉力，从而不易受到外部干扰。悬浮力模型是结构参数优化设计和控制策略等关键技术的基础，是近几十年来的重要研究课题[4]。

目前，悬浮力建模方法主要基于气隙的固定长度，在此模型上还衍生了涡流和漏磁对主磁场的影响等进一步研究[5]。然而，转子实际工况引起的气隙变形对悬浮力的影响却没有引起足够的重视。本文提出了一种基于气隙不固定长度的向心力型磁轴承建模新方法，并讨论了气隙变形对力-电流刚度和力-位移刚度的影响。此外，本文还获得了添加到实际转子运行速度的新刚度表达式。有限元结果表明，新模型在转子工况下具有更高的精度。

1 向心力磁轴承磁悬浮力模型

图1a 为向心力型磁轴承三维结构模型，从图1a中可以看出，磁轴承定子内壁处于同一个球面上，转子亦为球面结构，且定子与转子同球心，这种球面结构有助于在磁轴承高速运转的情况下减少陀螺效应的发生。同时，永磁体安装于两片定子极之间，永磁体产生偏置磁通，可以使磁轴承实现被动悬浮。因此，向心力型磁轴承具有低功耗和高稳定性的特征。

图1 向心力型磁轴承的磁路和样机

图1a 还显示了向心力磁轴承的总磁路。偏置通量和控制通量标记在图1a 中。控制磁通和偏置磁通叠加，其中控制磁通是由控制电流通过控制线圈产生的，偏置磁通是由两片定子见的永磁体产生的。控制磁通和偏置磁通相互作用，在气隙中产生相应的悬浮力，从而调节转子始终悬浮在平衡位置。图1b 显示了向心力磁轴承实物样机。考虑到混合磁轴承是一种特殊的无轴承电机，只产生悬浮力，不产生扭矩，其工作原理可参考无轴承电机。关于向心力磁轴承的其余细节，例如配置，可以参考文献[3]。向心力磁轴承的传统悬浮力模型可以表示为

式中，kx和kix是磁轴承单元在x 轴上的力-电流刚度和力-位移刚度；Hpm是永磁体的矫顽力；hpm是永磁体的长度；μr是永磁体的相对磁导率；μ0为自由空间的磁导率；Apm是永磁体的面积；Sr是单个径向磁极的面积；δr为径向气隙；α 为径向部分定子上下极间夹角的一半；εrp为气隙处偏磁通的漏磁系数；εrc是气隙中控制磁通的漏磁系数。

为了验证转子在高速情况下的形变量，将向心力磁轴承模型加载进有限元仿真软件中进行有限元分析。图2 为20 万转/分带轴转子在有限元分析下的变形图，从图中可以看出，转子变形随运行速度实时变化，用限元法建立变形模型，加载转速为n=20，0000rpm 的惯性负载（临界转速81264rpm）。图2a 为有限元分析下的20 万转/分带轴转子形变云图。图2a 显示了转子在惯性载荷下的变形，最大变形为0.11713mm，而气隙长度为0.25mm,这就意味着最大形变量相当于接近转子偏移距离的一半。因此，转速产生的气隙变形是不可忽略的，特别是当转子运行超过临界速度时。在气隙变形较大的情况下，若将气隙长度认为是固定的，则麦克斯韦力的作用区域就会被简化为磁极区域，这将极大地影响悬浮力的准确性。

图2 20 万转/分带轴转子变形图

可以从仿真软件中导出图2b 所示转子的轴向圆弧图，对变形进行定量分析。最大变形发生在轴向中间位置，并向两极逐渐减小，因此形变是与维度角相关的，可以推断气隙形变长度是关于纬度角（0～26.18°）的表达式。参考薄壁球形转子的变形规律，加入修正系数得到转子的变形规律。径向变形规律表示为

式中θ 是纬度角；μ 是泊松比；r0是转子半径；ρ 是转子密度；E 是弹性模量；ω 是转速；修正系数β=4.5。

由于转子由球体变为椭球体，气隙长度也随转速变化，其表达式可写成：

其中，r0表示球形转子的半径。

类似地，麦克斯韦力的作用区域被积分在椭球体的表面上。其表达式可以定义为

将式（3）和式（4）代入式（1），新公式是基于气隙长度不固定的向心力型磁轴承的精确模型。

2 仿真分析

通过对转子在高速情况下的形变量分析，将其气隙形变引入电磁力的仿真中，应用有限元的方法对变化气隙长度进行仿真分析电磁结构耦合场，从而分析气隙变形对悬浮力的影响。图3 显示了悬浮力随位移/电流和速度的变化。从图3a 和3b 可以看出，在恒定转子运行速度下，悬浮力Fx 与电流或位移近似成正比，这与现有研究结果一致，而动态悬浮力对变化速度很敏感。这意味着力和位移/电流之间的系数会因转子速度的差异而变化。随着转子转速的增加，在一定位移或电流下的悬浮力呈现上升趋势，是非线性增长而不是线性增长。此外，离心变形对力-电流刚度和力-位移刚度的影响不相等，前者产生的误差略大于后者（35.006N＞23.506N），如图3a 和3b 所示。因此，即使在两个刚度都上升的情况下，由于增加的幅度不同，两个刚度的误差也不能相互抵消。

图3 悬浮力随位移/电流和转子转速的变化

经过计算、仿真对比，以200000rpm 的运行速度为例，比较向心力磁轴承悬浮力新模型分别与传统模型和有限元仿真模型的误差。从图4a 和4b 可以看出，有限元结果与传统的力模型不一致。向心力磁轴承悬浮力-位移刚度和力-电流刚度的最大误差分别为13.3%和19.8%。而所提模型与有限元结果吻合较好，力-流刚度和力-位移刚度的相对误差分别为4.14%和5.3%。因此，证明了所提出模型的正确性和准确性。

图4 提出模型与传统模型和有限元仿真模型比较图

3 结束语

由于所提出的模型中考虑了高转速下的磁轴承气隙变形，因此新模型中的力-电流刚度和力-位移刚度与传统模型中的固定值不同（定长气隙模型为零转速），但随着转子运行速度动态变化。本研究有效地探索了两种刚度的变化规律。结果表明，随着转子转速的提高，气隙变形引起的两种刚度误差有增大的趋势，但气隙变形对力-电流刚度精度的影响明显大于力-位移刚度。结果表明，两个刚度的误差不能相互抵消，说明在表达式中加入转子运行速度的必要性。计算结果与有限元分析结果吻合较好。所提出模型的结果与有限元分析结果非常吻合。因此，在悬浮力建模过程中不能简单地认为气隙长度是固定的。提出的基于气隙长度不固定的精度模型为磁轴承的实时精度控制奠定了基础。