重联想 强操作 深探究

孙丹妍 童卫华

摘要：近年来，中考数学试卷在矩形问题的考查方面出现了许多创新题，这些创新题具有情景的新颖性、设问的灵活性等特点。其中，折叠、旋转是矩形问题的主旋律，发现、探索是考查的着力点。在平时的复习中，教师应将知识点穿成知识链，将知识链编织知识网，不断丰富学生的认知结构，引导学生多角度思考问题，提升学生的数学思维品质。

关键词：重联想;强操作;深探究

一、原题呈现

二、解法探究

本题以矩形折叠为背景，以求线段长度为手段，全面考查初中“图形与几何领域”的核心内容，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识。

在求线段长度时，常用的方法是三角形全等、面积法、勾股定理、相似法。这些都是课标要求的基础知识与基本技能。题中所给的图形蕴含着许多常见的基本图形，如“双平等腰模型”“8字形”“直角三角形子母相似”，解答本题需要学生具备一定的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等能力，对学生学业水平有较好的检验和评价作用。

折叠的本质是轴对称变换，它是图形四大变换之一，在初中三年的数学学习内容中均有体现，如七年级上册角平分线的概念，就是由折叠引入的，七年级下册平行线中的折叠，八年级、九年级也都出现了折叠，2021年的期中考试中三个年级均出现了折叠问题。

图形折叠的结果会出现完全重合和部分重合两种情况，既是分类，又渗透了数学的等量关系和不等量关系。借助将纸片折叠这一数学活动，将数学操作进行数学抽象，由具体实物抽象成几何图形，实现由具体形象思维到抽象逻辑思维的跨越。

以上是我们对折叠的理解，下面我们开始解题。

题中出现了折叠，折痕为角平分线，结合矩形平行的性质，联想到双平等腰模型，等腰三角形也是解决线段相等的一个基本图形，于是有了解法二。（如图2所示）

折叠可得为直角，直角让人联想到勾股定理和高，双高联想到面积法，于是有了解法三。（如图3所示）

无论是全等三角形还是等腰三角形，都是直观想象的体现。

在解答了第一问后，题中就知道了两条线段的长度，求BE的长度就转化为知二求一，知二求一常见的方法是勾股定理、相似三角形的比例线段。观察图形，我们发现BE虽然在直角三角形中，但求解BE仍很困难，结合条件折叠，把BE转化成EF，体现了数学的转化思想。把AE，DF，EF这三条线段集中在一起，这让我们联想到三角形相似，所以得到了求EF的解法。在解题时，设线段长为x，运用方程求解，综合考查了学生的直观想象和数学建模的核心素养。

三、变式反思

题后的反思是一种重要的学习方法。在总结回顾中，我们发现，BE=EF=          这个答案很奇特，竟然跟黄金比            很相像，竟然就是黄金比，这里面还藏着什么秘密呢？让我们再看一次题目，看我们是否疏忽了什么。题中“点D，E，F三点在同一条直线上”这个条件比较奇怪，究竟是这个现象导致了这个特殊的比值，还是这个特殊的比值确定了三点共线？

我们用几何画板进行了探究。

如图4所示，将一个一般的矩形进行折叠，D，E，F三点不在同一直线上，△ADF和△DFC都不是直角三角形，DF和AE的等量关系也不存在。当矩形两边满足特殊关系时，D，E，F三点共线，DF与AE存在等量关系，特殊的比值也存在，根据三角形相似，矩形的短边与对角线的比也是黄金比。这种由一般到特殊的研究方法，符合几何学习的一般规律。

矩形折叠中还有没有类似的特殊结构导致特殊的结论？

变式1：如图5所示，在矩形ABCD中，点E是DC边上一点，连接BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M.

针对不同年级段有不同的题型，如

七年级：如图5所示，∠AFB比∠DFE大10°，求∠AFB的度数。

八年級上：如图5，已知AB=6，BC=10，求①DF的长;②求DE的长。

八年级下：如图6所示，已知AB=6，BC=10，求①证明四边形FMCE是菱形;②求菱形的面积。

九年级中考：如图6，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连接FM，若FM//CD，BC=10.求AF的长.

比较条件，发现八年级下与九年级中考均为求线段长度，但八年级是知二求一，用勾股定理比较容易解决，九年级是知一求一，此时线段还不相等，解题难度增加，猜想，是否还有隐藏条件未找出？

我们仍然用几何画板来验证是否还含有隐藏的特殊条件。如图7所示，一般矩形经过折叠后，FM与CD并不平行，此时四边形FMCE是个筝形，只有当矩形两边满足特殊关系时，FM才和CD平行，四边形由筝形变成了菱形，矩形的短边与对角线的比是黄金比。

在平时教学中，我们还碰到过以下现象，只要我们重新画一遍图，有些题目竟然迎刃而解，豁然开朗，这又是为什么呢？原来是通过画图，将复杂图形简化成基本图形，再把基本图形组合成复杂图形，在这个过程中我们捋清了条件之间的逻辑顺序，找到了条件之间的隐藏关系，丰富了解题线索，最终解决了问题。在几何图形的教学中，强调了识图、标图，可能疏忽了画图能力的培养。

因此，教师应用知识点穿成知识链，用知识链编织知识网，不断丰富学生的认知结构，引导学生多角度思考问题，提升学生数学思维品质。

参考文献：

[1]卜以楼.取势 明道 优术：初中函数图像的教学分析及思考[J].中学数学教学参考，2015（10），

（责任编辑：奚春皓）