动力学中轻杆受力是否沿杆方向问题

钟艳雄

(兴宁市第一中学 广东 梅州 514500)

各种资料对动力学中轻杆受力是否沿杆方向的讨论几乎为零，加上讨论要用到刚体力学等理论，导致这个问题成了高中阶段的难题，一不留神还会出错，比如出现“轻杆受力只能沿杆方向”的错误说法，甚至把这样的错误说法当成结论，结果就会与“杆对物体的作用力可以任意方向”的结论相矛盾.轻杆受力不一定沿杆方向，下面通过实例和实际解决问题的方式进行分析.

实例一：如图1所示，长为2L的轻杆可绕过其一端的水平光滑轴O在竖直平面内转动，分别在杆的中点和另一端各固定一质量为m的小球，把杆拉至水平无初速释放，不计空气阻力.问转动过程杆L1受力是否沿杆方向.

图1 实例一图

选整个系统为研究对象，以O为转轴，受力分析如图2所示.

图2 实例一解题图

转动惯量为

I=mL2+m(2L)2=5mL2

设杆转过θ角时角加速度为β，由转动定理[1]

3mgLcosθ=Iβ

以上两式解得

系统质心为杆L2的中点c，设质心切向加速度为acτ，有

以上两式解得

以两球及杆L2为研究对象，质心仍为c，设杆L1对球1的切向力为Fτ，由质心运动定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上两式解得

结果表明，除杆在竖直位置外杆L1受力均不沿杆方向.

以上用了刚体力学知识，下面用机械能守恒定律分析这个问题.

仍如图2所示，设杆转过θ角球1和球2速度分别为v1和v2，由系统机械能守恒有

由两球角速度相等易知

v2=2v1

由以上两式解得

设系统质心速度为vc, 由角速度ω相等有

由以上两式解得

上式两边对时间求导得

易知

由以上两式解得

对两球及杆L2组成的系统，由质心运动定理有

2mgcosθ-Fτ=2macτ

以上两式解得

两次解得的结果完全相同.

本例中两个小球之间机械能传递依靠杆的切向弹力，所以杆的弹力不沿杆方向.切向弹力对球1做负功，球1机械能减小，对球2做正功，球2机械能增加.

实例二:如图3所示，质量为m的小球A，B由长为2L的轻杆相连，竖直置于光滑水平面上，由于受到轻微扰动，系统在竖直平面内自由运动，不计空气阻力.求运动过程杆受力是否沿杆方向.

图3 实例二图

如图4所示，B的速度vB沿水平方向，C为系统质心，由于系统受力均为竖直方向，质心速度vC和加速度aC均为竖直方向.杆转过θ角时vB⊥BD,vC⊥CD,说明D点是刚体瞬心，设此时质心相对瞬心角速度为ω,则

vC=ωLsinθ

(1)

图4 瞬心分析图

如图5所示，以质心C为参考系，F惯为A受到的惯性力，有

F惯=maC

设杆对球A切向力为Fτ，球A相对质心切向加速度为aτ，由牛顿第二定律

mgsinθ-Fτ-F惯sinθ=maτ

把F惯代入上式并化简

mgsinθ-Fτ-maCsinθ=maτ

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)

(2)

图5 质心参考系解题图

球A绕质心做圆周运动，设角加速度为β，有

aτ=βL

(3)

设系统绕质心转动惯量为IC，有IC=2mL2，刚体上任一点相对瞬心的角速度与刚体角速度相同，因此刚体角速度为ω.由系统机械能守恒[1]

IC代入上式

上式两边对时间求导

gωLsinθ=vCaC+βωL2

把式(1)代入上式

gωLsinθ=ωLaCsinθ+βωL2

化简

gsinθ=aCsinθ+βL

式(3)代入上式

gsinθ=aCsinθ+aτ

上式代入式(2)

Fτ=mgsinθ-m(aCsinθ+aτ)=0

说明杆若受力一定沿杆方向.

本例中两个小球之间机械能传递依靠杆的径向弹力，不需要切向弹力，所以杆的弹力沿杆方向，球B机械能增加，球A机械能减小.

实例三:如图6所示，竖直放置长为L的轻杆，上端连着质量为m的小球A，杆的下端用铰链固接于水平面.置于同一水平面上的立方体B恰与A接触，立方体质量为M.今有微小扰动，使杆向右倾倒，各处摩擦均不计，求A与B相互作用过程杆受力是否沿杆方向.

图6 实例三图

各符号设置如图7所示，杆转过θ角的过程，由A和B系统机械能守恒有

(4)

图7 实例三解题图

式(4)两边对时间求导，并设球角速度为ω，切向加速度为aτ，有

mgωLsinθ=mv1aτ+Mv2a2

易知

v1=ωL

v2=v1cosθ

联立以上3式解得

mgsinθ=maτ+Ma2cosθ

以B为研究对象，由牛顿第二定律有

F=Ma2

由以上两式

mgsinθ=maτ+Fcosθ

选A为研究对象，切向由牛顿第二定律有

mgsinθ-Fcosθ-Fτ=maτ

由以上两式解得

Fτ=0

说明杆若受力一定沿杆方向.

本例中小球与铰链之间没有机械能传递，所以杆的弹力沿杆方向.

总结:通过以上3个实例的分析不难发现，轻杆弹力方向本质上是实现杆两端物体的机械能传递，若没有机械能传递则弹力沿杆方向，若有传递时，可以通过径向力传递，也可以通过切向力传递.