浅析MathCAD数值模拟在大学物理教学中应用

刘玉丽 王钰茹 刘协权

(陆军步兵学院基础部理化教研室 江西 南昌 330103)

近年来，随着计算机技术的不断发展，现代教学改革对课堂教学也提出了更高的要求，如何采用现代化多媒体手段有效地辅助教学，提高课堂教学效率，成为了研究的一个热点.大学物理课程中有许多抽象、复杂的物理规律和现象，仅用传统的教学方法授课会使教学受到一定的局限性，而用计算机软件技术进行数值模拟，已成为最常用的方式.目前，用于数值模拟的软件主要有MathCAD，MATLAB，Maple，Mathematica，它们各有各的特色，其中Maple和Mathematica擅长符号运算，MATLAB擅长矩阵运算和图形处理，MathCAD擅长数值计算和绘图.MathCAD的主要特点是输入格式与人们习惯的数学书写格式近似，比MATLAB编程语言更简单，采用所见即所得界面，特别适合一般无须进行复杂编程或要求比较特殊的计算，易学，容易理解，操作十分简单，而且它的输入界面特别友好[1].若将MathCAD引入大学物理教学中，通过对MathCAD语言的编译，可以非常简便地实现对物理规律、现象的仿真.下面通过实例介绍MathCAD数值模拟在大学物理教学中的应用.

1 “拍”现象的模拟

两个同方向不同频率的简谐振动，如果频率都比较大，但频率之差很小，那么在合成时，有的地方加强，有的地方减弱，这种振幅时大时小的现象称为“拍”[2].设两个分振动的振幅都为1，频率分别为10 000和10 100，利用如下编程可以模拟出“拍”的形成图.

A:=1,ω1:=10000,ω2:=10100

δ:=0,α(θ):=δ+θ定仪初相位

t:=0,0.01..2 定义时间变化范围

x1(t,θ):=A·cos(ω1·t+α(θ))

x2(t,θ):=A·cos(ω2·t+α(θ)) 定义两个分振动

运行结果如图1所示.

图1 拍的形成

“拍”现象在声振动、电磁振动和波动中经常遇到.而一般物理教材在讨论到“拍”的观察时，多数是举两个频率相近的音叉同时发出声时，会在人耳中产生嗡嗡声，以说明合振动的振幅存在时强时弱的周期性变化，这是从听觉的角度给学生建立“拍”现象的，但用眼睛却看不到，更谈不上定量分析.现在课堂教学多采用多媒体教学，当讲到“拍”的形成时，我们就可以打开MathCAD软件，通过几句简单的MathCAD语言，把“拍”现象模拟出来，将该过程通过投影仪投影到大屏幕上，不仅能看到“拍”现象，还可以调节各振动的初始位置、初相位和角速度来观察不同条件下的“拍”现象，图1就是我们在一定的初始条件下得到的“拍”现象.学生不仅能观察到“拍”现象，还能感觉到这个数值计算软件既简单又方便，这将引起学生的学习兴趣.

2 麦克斯韦速率分布律的模拟

热学中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授中的一个重点和难点.下面我们模拟氧气分子分别在200 K,500 K,1200 K时的速率分布曲线，以及氧气、二氧化碳、甲烷在200 K时的速率分布曲线.编程如下：

运行结果如图2所示.

图2 麦克斯韦速率分布曲线

图2左图中实线是氧气在200 K时的速率分布曲线，虚线是500 K时的速率分布曲线，长划线是1 200 K时的速率分布曲线，从左图中可以看出，当温度升高时，气体分子的速率普遍增大，速率分布曲线中的最概然速率vp向量值增大方向迁移，但归一化条件要求曲线下的总面积不变，因此，分布曲线宽度增大，高度降低，整个曲线变得较平坦些，即温度越高，速率大的分子越多，这就是通常所说的温度越高，分子运动越剧烈的真正含义[3]；右图中实线是二氧化碳的速率分布曲线,虚线是氧气的速率分布曲线，长划线是甲烷的速率分布曲线，在相同温度下，对不同种类的气体，质量大的，速率分布曲线中的最概然速率vp向量值减小方向迁移，因总面积不变，所以，分布曲线宽度变窄，高度增大，整个曲线比质量小的显得陡些，即曲线随分子质量变大而左移.

3 等势线的模拟

假设有一对电偶极子，坐标分别为(-1.01，0)和(1.01，0)，编程语句如图3(a)所示，等势线[4]运行结果如图3(b)所示.

图3 电偶极子的等势线

通过图3，我们可以清晰地观察到电偶极子的电势分布，正电荷的电势像一山峰，负电荷的电势像一海谷，而且山峰的高度等于海谷的深度.

4 光栅衍射的实验结果模拟

在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹，这些暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消而形成的，在相邻两暗纹之间的位置光强并不为零，但其强度要比各级主极大的光强小得多，称为次级明条纹.当单缝衍射的暗条纹位置与多缝干涉的主极大明条纹位置重合时，就会出现暗条纹，这种现象称为缺级现象[5].设光栅常数为2 μm，缝宽为1 μm，入射光波长为500 nm，光振幅为1，编程语句如下：

d:=2,a:=1,A:=1,λ:=0.5

θ:=-π,-π+0.01..π 自变量范围

运行结果如图4所示.

图4 光栅衍射光谱图

从图4可以看出，当缝数为4时，两个主极大之间有3个暗纹，2个次极大.还可以看出，±2,±4,±6,…级缺级.

光栅衍射的光谱形状以及缺级现象的表现都是教学中比较难理解的内容，而实验结果又无法直接显示.通过MathCAD模拟的实验现象，如图4所示，可以把空洞的实验描述具体化，从而帮助学生直观地了解光栅的缝数以及缝宽对衍射图样的影响、缺级现象在衍射图谱中的表现形式.

物理学是一门实验的科学，因此大学物理教学不可能完全独立于物理实验而进行.而在基本知识和原理的讲授过程中，更需要不断地通过实验来加以佐证，但由于教学资源和实验条件的限制，不可能实现理论教学和实验教学同时进行.为了弥补这种缺憾，可以通过计算机模拟实验结果以达到同样的教学效果.

5 结论

通过上面的一些应用可知，MathCAD是一款功能强大的数值计算软件，使繁琐的数学运算变得简单，并且有出色的绘图功能.通过模拟物理现象，使其变得直观、形象，可以提高课堂教学的效率和质量，MathCAD在大学物理课程教学中是一个非常有效的辅助工具.