利用匹配法构造一类燃烧问题的角层近似解

黄 飞，刘树德

(1.安徽信息工程学院 通识教育与外国语学院，安徽 芜湖 241000；2.安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 241000)

1 引言

考虑燃料与氧化剂没有预先混合的燃烧问题。假设燃烧的扩散效应与反应速度之比ε很小，燃料与氧化剂相遇并反映时火焰的位置为x=0，火焰在x处的厚度为y，则可归结为如下形式的奇摄动边值问题[1]：

文献[1]利用微分不等式理论研究问题(1)，(2)，得到解的如下估计：

其中y=|x|是退化解，c>0 是某个正常数。在燃烧理论中，退化解作为Burke-Schumann 近似，未能揭示火焰在x=0处的厚度及相关性质。

本文考虑利用匹配渐近展开法[2-8]处理奇摄动问题，该方法需要涉及内展开式与外展开式之间的匹配，是一项复杂的技术性的工作。

2 主要结果

为了构造出在x=0 处具有内层性质的校正项，分以下4步进行。

2.1 构造外展开式的第一项

设问题(1)，(2)的外展开式具有形式

将(4)代入(1)，比较方程两边ε的零次幂系数得到：

方程(5)满足边界条件

y(‐1)=1和y(1)=1的解分别为

因此可取

作为外部解的零次近似。由于y0(x)在x=0处连续但不可微，故在x=0 处出现了角层现象，如图1所示。

图1

2.2 构造內展开式的第一项

引入伸展变换ξ=(λ>0)来放大角层，寻求在x=0 附近的内展开式，并用yi表示相应的内部解，代入(1)，就有

式中C为积分常数，解出Y0即得內展开式的第一项。

2.3 内、外展开式的匹配

由(6)式可知，在x=0处

应用Prandtl匹配原则[7]，分别有

在(9)式两边令ξ→∞可得C=0。

进一步由(6)式及内角层的性质推知，当ξ<0时，Y0>0，′>0；当ξ>0 时，Y0>0，<0。于是

若给定初值Y0(0)=a(a>0)，则在(‐∞,0]和[0,+∞)上分别解相应的初值问题，就有

2.4 形成复合展开式

将外展式与内展开式相加并减去其公共部分(公共部分为零)，得到

复合展开式(10)在整个区间[‐1,1]上一致有效。问题(1)，(2)的解可用复合展开式的零次近似表示为:

当取0

3 结束语

在没有预先混合的燃烧理论中，一个典范问题归结为奇摄动边值问题(1)，(2)。当反应速度无限大时ε=0，得到退化解(6)，使得在x=0 处出现角层现象。

本文利用匹配渐近展开法，先把问题(1)，(2)的近似解给成以外变量x和内变量ξ表示的两个独立的展开式，这两个展开式的有效区域重叠，由此可以进行匹配，形成在整个区间上一致有效的复合展开式，从而构造出在x=0处具有角层性质的校正项，得到简单而比较理想的近似解。

通过对边界层或内层的构造，容易看出实际问题中出现的参数对解的影响，且可用来对所考虑的问题作定性的和近似定量的讨论。因此匹配渐近展开法已成为处理非线性奇摄动问题的一种重要手段，在工程技术和科学领域中展示出极其广阔的应用前景。

应用匹配渐近展开法可根据问题的需要使用不同的匹配原则，包括Prandtl 匹配原则、Van Dyke匹配原则及中间变量匹配原则，从而能有效地处理一些更复杂的匹配问题。