懂数学的蝉

袁越

夏天是属于蝉的季节，蝉的叫声是每个慵懒夏日的背景音乐。但是，美国有一种蝉，每17年才叫一次，像钟表一样准确。

世界上有3000多种蝉，绝大多数都是一年生的，每年繁殖一次。也有一些蝉以2-4年为一个周期。1633年，有人描述过一种产自北美的蝉，周期极长。但直到18世纪初期，美国的昆虫学家才最终确定了这种蝉的周期——17年。一百多年后，又有一种周期为13年的蝉被发现了。科学家把这两种奇怪的蝉统称为“周期蝉”。

这两种蝉总是在5月下旬开始破土而出，沿着树干爬到高处，发出疯狂的求偶叫声。它们必须抓紧时间找到伴侣，因为大自然留给它们的交配时间只有一个星期。之后，雌蝉把卵产在树干内便死掉了。经过2-8周的孵化，幼虫破壳而出，掉到地上，钻进土壤，依附在大树的根部，一边吸食植物汁液，一边等待时机再次破土而出。

这一等就是16年（或者12年）。

其实，17年蝉早在第8年的时候就已经完全成熟了，但它们体内似乎有个钟表，不断提醒它们要耐心等待。直到第17年的那个夏天，蝉们好像约好了似的，一起冲出地面，完成新的一轮生命周期。

一般情况下，一个地区只生存着一种周期蝉，科学家按照它们的出土日期和分布范围，把北美的周期蝉分成了大约15个按照罗马字母命名的“窝”。比如，2004年出现在美东大部分地区的周期蝉是第X号窝（罗马数字10），这一窝蝉数量最多，分布最广，是研究得最透彻的窝之一。

科学家首先想弄明白的问题是：这种蝉为什么选择在地下生活那么多年？这样做肯定会减少繁殖的效率啊。这个问题现在基本上有了定论。原来，周期蝉最早出现在大约180万年前，那个时候北美正处于冰河期，气候极不稳定，经常会遇到冷夏。成年蝉需要很高的气温，假如它们出土后正好遇到低温，就死定了。科学家经过计算发现，假如在1500年的时间里每50年出现一次冷夏，那么7年蝉的成活率是7%，11年蝉的成活率是51%，17年蝉则是96%。显然，周期越长，成活率就越高。

下一个，也是最有趣的问题：周期蝉的周期为什么总是质数？

众所周知，质数是除了它自己和1以外无法被任何整数整除的数。有一种理论认为，周期蝉为了避免相互争夺粮食，便进化出质数周期，减少了相遇的次数。比如13年蝉和17年蝉每221年（13乘以17）才会同时出现一次。

可是，这个理论经不起推敲。事实上，13年蝉和17年蝉各自有自己的活动区域，两者很少重叠。1998年在密苏里地区出现过一次第X号窝和另外两窝13年蝉同时出现的奇景，但是这种情况很少发生。另外，蝉大部分时间都生活在地下，相互争夺最厉害的食物应该是植物的根，这和它们的生命周期就没什么关系了。

1977年，著名古生物学家史蒂芬·杰·古尔德提出了一个新的假说，认为周期蝉这样做是为了避开自己的天敌。他指出，很多蝉的天敌也有自己的生命周期，假如周期蝉的生命周期不是质数，那么就会有很多机会和天敌的周期重叠。比如12年蝉就会和周期为2、3、4、6年的天敌重叠，被吃的可能性就要大很多。

2001年，德国科学家马里奥·马科斯设计了一个数学模型，间接地验证了这一假说。在这个计算机模型里，蝉和天敌们的生活周期一开始都不固定，但是两者都会随机地发生变异。如果周期重叠，蝉就被吃掉。经过N年的演化后，蝉的周期无一例外地会停留在一个质数上。

达尔文的支持者肯定喜欢这个理论，因为它把周期蝉的这个“神来之笔”变成了一个进化论框架下的数学模型。另外，这个理论还产生了一个副产品，那就是“质数生成器”。原来，质数是没有规律可言的，大质数很難找到，需要用计算机一个一个地算。现在好了，只要把前提条件变化一下，输入这个“质数生成器”，就能自动得出一个质数来。

这个故事讲到这里似乎很完美了，其实不然，很多昆虫学家仍然有疑问。比如，为什么目前发现的周期只有13年和17年两种？为什么大多数蝉的周期并不是这样的？这些疑问都很有道理，但研究起来十分困难。康涅狄格大学的生物学家克里斯·西蒙认为，马科斯提出的数学模型之所以还没有被证伪，是因为这个理论直到现在还没有办法验证。比如，科学家一直没有找到周期蝉的天敌，能够符合这个理论的前提条件。所以，只有先搞清周期蝉控制时间的原理，以及它们的遗传方式，才有可能从根本上揭开周期蝉的秘密。已经有科学家利用1998年在密苏里出现的那次罕见的重叠，让13年蝉和17年蝉交配，看看它们后代的周期会变成怎样。

但是，很显然，这项研究需要很长的时间，必须有足够的耐心才行。

说起来，周期蝉不能算是害虫，研究它的周期对人类一点实际价值也没有。不过，人类的好奇心是无穷的。科学的发展就是这样，一开始也许只是出于好奇，但没准就能找到一个突破性的大发现，就像那个“质数生成器”那样。

如果你对这个问题有兴趣的话，赶紧去美国的伊利诺伊州吧。按照科学家的计算，一种13年蝉的第XIII号窝马上就要在那里出土了！

（林一摘自上海三联书店《当彩色的声音尝起来是甜的》）