研究生课程有限元方法的案例库建设

张可维 胡志刚

摘要：有限元案例库引入了自制的机械模型实物，使学生首先从数学模型层面上理解有限元思想，然后在编程过程中掌握有限元分析的技术细节，最后在机械模型验证中巩固所学知识。将12个工程问题有限元分析实例引入案例库，提高了学生应用有限元方法去分析解决实际工程问题的能力。

关键词：案例库;有限元方法;MATLAB编程

前言

案例教学（Case Method）是一种将实际问题与理论研究相结合，以实际案例为依据，强调学生自主学习、自主探究，从而激发学生兴趣，提高学生运用理论解决实际问题能力的教学方法。该方法由美国哈佛法学院前院长C.C.Langdell于1870年首创，后经哈佛企管研究所所长W.B.Doham推广，在20世纪80年代引入我国。它已经得到世界许多地方认可，被视为代表未来教育方向的一种成功教育方法。中国高校工作者结合自己所上课程的特点，已逐步开展了案例库建设，推行了案例教学的教学方式[1，2]。有限元方法能显著提高学生分析解决实际工程问题的能力，促使教育工作者深入思考相关教学工作[3，4]，已经出现了有限元案例教学方面的积极探索[5-7]。由于有限元分析这种高级的工科案例教学应该包含实验数据，这带来成本和操作复杂性方面的问题，因此深入探索有限元案例教学是十分具有挑战性的研究方向。

一、有限元案例库建设实践

1.特点

本有限元案例库引入自制的机械模型实物，使学生首先从数学模型层面上理解有限元思想，然后在编程过程中掌握有限元分析的技术细节，最后在机械模型验证中巩固所学知识，从而切实提高学生将有限元方法用于实际工程分析的能力。在实践中，理论分析结果与实物模型数据可能存在较大差距。这种数据误差差距来源有很多：受成本限制的机械制造装配精度不高、材料不均匀导致物理参数不准确、几何测量误差导致模型数据不准确等等。因此，本案例库主要引入了弹簧、六角扳手、简支梁等简单机械对象，以降低数据误差对分析可信度的影响。

2.教材与补充书目

本案例库教学所用教材为P.I.Kattan著的《MATLAB有限元分析与应用》，补充书目是Daryl L.Logan著的《有限元方法基础教程》。教材采用了当今在工程教育方面非常流行的数学软件MATLAB来进行有限元分析和应用，由浅入深、循序渐进地介绍了多种有限元单元及其分析与应用方法。本书特别强调基础理论和软件交互，书中的每个示例都提供分步求解，有利于读者入门。补充书目中提供了大量取自机械工程、土木丁程、航空航天工程和材料科学的示例和习题，有很高的工程应用价值。

3.有限元案例库内容

有限元案例库由12个工程问题有限元分析案例组成，每个案例包含配套的教学文档，其中一些简单案例还配有自制的机械实物。完整的案例学习要求学生利用有限元分析方法为该机械实物建立有限元模型，并仿真计算出一些典型力学指标数值，然后用实验加以验证，最后给出分析报告解释仿真实验结果和实际实验结果之间的差异来源。12个案例的内容如表1所示：

4.学时分配

本有限元案例库由12个工程问题有限元分析案例组成，每个案例需要2学时，总共需要24学时完成案例教学。

二、弹簧元案例主要内容

弹簧元是最基本的有限元单元。实物弹簧的刚度以及在外力作用下的变形均可测。首先给出弹簧元刚度矩阵公式，然后给出该刚度矩阵的理论推导过程，接着用Matlab语言编写刚度矩阵生成函数和系统刚度矩阵装配函数，最后用Matlab语言编写有限元分析程序调用这两个函数，实现对单个弹簧受力问题的有限元分析。计算结果可以与实验结果比对验证，增强感性认识。

弹簧元刚度矩阵的理论推导如下。首先在弹簧符号上建立局部坐标轴、为节点编号、标出局部节点力和局部节点位移、标出弹簧属性，最终得到带有约定正向节点位移的弹簧元模型，如图1所示。

不妨设弹簧元在拉力T的作用发生伸长变形，表现在节点位移产生变化，如图2所示。

通过以上有限元分析可进一步编写Matlab有限元分析程序模板代码。

结语

通过有限元案例库的建设和案例教学实践的应用，可以促进研究生对工程实际问题的理解，因此案例库的建设具有促进学生掌握先进科学知识的积极意义。专业学位研究生在学习使用软件工具进行有限元分析的过程中，锻炼和提高了自身运用计算机解决工程问题的能力。案例库的建设和应用在改革和创新专业学位研究生教学模式、明确案例教学的地位和作用等多个方面提供了具体的理论依据和实践经验。

参考文献

[1]朱本伟，倪芳，熊强，姚忠，孙芸.生物分離工程课程教学案例库的建设与应用探索[J].食品与发酵科技，2021，57（01）：134-138.

[2]任立海，胡远志，陈浩，肖明杨.汽车碰撞安全开发案例库建设与教学实践[J].科技经济导刊，2021，29（06）：157-158+161.

[3]伍建伟，蒋占四，刘夫云，庄未.机械专业有限元原理及应用课程教学改革研究[J].科技创新导报，2017，14（05）：193-194+196.

[4]徐荣桥，杨仲轩，吕朝锋.MATLAB在有限元教学中的应用与实践[J].力学与实践，2010，32（04）：101-103.

作者简介：张可维，1973年3月，男，汉族，湖北省武汉市，副教授，工学博士，智能机械。