一种基于艾森斯坦整数的SCMA码本的优化

曾慧，李旭东

（西华大学理学院，成都 610039）

0 引言

随着信息时代的快速发展，通信设备出现了爆炸式的增长[1]，这些智能设备（智能手机、笔记本电脑、运动手环等）相互连接，提供无处不在的无线通信服务，使得人们的生活方式变得越来越便捷。在移动通信技术和物联网应用不断发展的大背景下，第五代通信系统（5G）为无线技术的发展提供了更加广阔的领域。码分多址作为一种非正交多址（NOMA）技术，能有效地利用消息传递算法（MPA）的稀疏性来进行多用户检测，让每一个用户在码分多址系统中通过一个唯一的数据信号，从而使该码分多址系统的大多数序列条目归零[2]。由于近年来，频谱效率、大规模连接和超低访问延迟等问题受到了越来越多的研究关注，为满足各种严格的服务质量要求，低密度签名的码分多址（LDS-CDMA）的概念很快被扩展到稀疏码分多址（SCMA）中，每个用户根据瞬间输入的消息从码本中去发送一个稀疏码字。稀疏码分多址（SCMA）作为一种有竞争力的码域方案，将调制和稀疏扩频结合来增加接入的用户数量，从而有效地提高系统的频谱效率[3]。由于在大多数研究中，SCMA信号是通过将输入比特映射到适当设计的多个多维码字来享受所谓的“星座成形增益”，所以SCMA的误码率性能接近于最大似然接收机[4]，其中码本的设计对于提高码分多址系统的误码率性能是至关重要的。

至今为止，在已有的文献中，已经提出了许多码本结构，但它的最佳设计在很大程度上仍然是具有挑战性的。在现有工作中，关于SCMA码本设计的大多数是从增大组合星座点间的最小乘积距离（或最小欧几里德距离）的单个多维母星座入手，利用该母星座，通过相位旋转、交织和置换等一系列操作生成多个稀疏码本[5]。但这也导致星座的功率不平衡，而功率不平衡的星座是有助于放大“远近效应”，能从每个资源节点相关的稀疏码本中看到用户功率的变化，这对于在微波功率放大器中增强干扰抵消是有用的。因此也有文献利用在下行链路传输的不同用户之间具有的功率变化来开发一种新的SCMA码本解决功率不平衡的问题[6]，通过分析优化每个码本的最大功率密度，然后采用遗传算法优化合成叠加星座[7]的最大功率密度，其中所提到的遗传算法[8]是一种在工程中得到广泛应用的随机优化方法。尽管如此，最优SCMA码本的设计仍然是一个开放性的问题。

本文借助艾森斯坦数提出了一类新SCMA码本设计方法，利用了艾森斯坦整数在复平面内构成艾森斯坦环[9]的特点，通过计算这些点到复平面中心的距离，以保证每个用户传输码字均有较大的最小欧式距离，并将总星座图拆分成三个子星座图，以此增大不同资源块上相同用户的相同码字之间的距离，让每个用户的每个码字功率差别变小，通过仿真结果表明，在瑞利衰落信道[10]下，我们提出的码本系统可以达到与华为SCMA码本相当的误码率性能，在高斯信道下可以达到更好的性能。

1 SCMA系统模型概述

可以考虑一个上行SCMA系统模型[11]，如图1所示，在这种情况下，正交时频资源块数量k=4；用户数量J=6；每个用户使用的星座点个数M=4。在发送端，SCMA系统将输入的比特流序列直接映射成多维复数域码字，各个用户的码字以稀疏扩颊的方式，在正交时频资源快上叠加。在接收端，根据码字稀疏的特性，进行算法检测，从而达到恢复原始比特流的目的。

图1 上行SCMA系统模型

在SCMA系统中，用户数目和资源块之间的关系可以用因子图矩阵F来表示，当且仅当矩阵中的元素不为零时，用户在资源块上传输数据，当用户在发送信号时，接收到的信号可用Y表示为：

其中y j表示用户j发送的码字，h j表示基站与用户j的信道状态，Z n表示资源块上n的信道噪声。所以在资源1处接收到的信号可以表示为：

公式中ε1表示占用资源块1的用户的一个集合，因为SCMA码本存在稀疏性，所以用户只在某些资源块上进行传输。

2 SCMA码本设计步骤

对于SCMA码本来说，SCMA系统的好坏与码本的设计是存在联系的，而对于SCMA编码来说，是把每个用户的比特数据变成多维向量，来取代传统CDMA中的调制和扩频，从而使得系统整体容量得到大幅度提升。SCMA码本设计过程可以利用星座函数[12]，首先生成M个N维用户星座C j，再利用映射矩阵V j将C j映射成SCMA的码本X j，该过程可用公式表示：

在公式（3）中，b j用来表示用户j输入的比特序列。

SCMA码本用K维向量X j表示，产生过程可以表示为

设K维向量,K维向量G=，则给定结构为σ(V,G:J,M,N,K)的SCMA码本，此设计问题便可以表示为：

其中θ为一个给定的设计性能评价准则，而这个设计准则存在一个问题，就是在确定时存在难度，不容易去得到这个θ，所以在SCMA码本设计中，设计的关键就在于怎么去设计它的映射矩阵以及总星座等问题，具体可以分为以下4个部分。

（1）映射矩阵设计。在SCMA里，可以通过映射矩阵W j而得到映射矩阵F，不同的在于这里的W j表示的是第j个用户。因子矩阵F=(f1,f2,…,f J)是K×J的一个稀疏矩阵，f j和映射矩阵W j存在如下关系[13]：

由于在同一资源块节点上，映射矩阵的集合W决定了相互影响的用户层数，不仅如此，映射矩阵的集合W也能够影响MPA在接收端的解码，具体来说，会在解码计算速度上产生影响，这个产生的原因也跟SCMA码字的稀疏性是存在关联的，另外呢，MPA解码的计算量其实也与码本的码字有联系。一般设计的准则是这样表示的：

其中W j∈B K×N，并且W i≠W j,∀i≠j，公式（7）中W[∅]j比较特殊，表示没有零行的一个映射矩阵。我们可以详细分析去获得一个可行的方案，利用上述所提到的一些条件进行相应的研究，结合起来获得我们所需要的方案，一般来说，设计出来的映射矩阵要在用户数量上进行考虑，也要对资源块上的用户进行计算，对于SCMA系统来说，过载率要满足λ=J/K，两外，矩阵中的元素也要满足一定的关系。

（2）多维星座的设计。如果已知映射矩阵W的集合，则SCMA码本设计的最优化问题可简化为如下的求解形式

具体来说。上述的求解问题就变成考虑如何设计出J个N维映射星座的问题。N维映射星座的设计虽然比较复杂，但这是设计码本的关键之处，具体来说，我们可以考虑从欧式距离和乘积距离入手，怎样去设计一个比较大的是优化的重中之重，可以通过对星座算子的计算从而得到各个用户的星座。码本设计的过程则可以分为：首先设计母星座，其次将母星座进行变换，最后便可以得到各个用户所需要的码本。为了增大母星座最小欧式距离，降低峰均功率比，我们采用如下的母星座结构GL：

（3）设计星座矩阵。星座矩阵通常由两部分结合而成，设计一个好的星座矩阵对于码本来说，是非常重要的。通常星座矩阵可以用K×J形式来表示，因子矩阵F确定了各星座位置,所以星座矩阵D M k,j可表示为：

且S k,rand(i)≠S k,rand(j)(i,j∈{1,2,…,d r})，其中DM k,j表示用户j在资源块k上可能取值的集合；{S1,k,S2,k,…,S d r,k}就是一个集合，这个集合可以重新进行随机排列，第p个值由S k,rand(p)来表示，其实，在公式（10）中，所表示星座矩阵和星座图是存在一定对应关系的，具体而言，就是去观察矩阵中的行与列，来找到其中的联系。

（4）生成用户码本。为了得到每一个用户的码本，可以将DM k,j中的每一列都进行展开，这样让矩阵的维数产生变化，来取得我们所需的码本，具体表示为：

其中m j∈[1,M]，D k,j(m j)表示用户j采用码字m j时该码字的第k个值。

3 艾森斯坦整数的码本设计及优化

3.1 艾森斯坦整数

的复根。艾森斯坦整数可以定义为以下形式：

其中a和b表示整数，ω表示三次单位根。

在代数数域Q(ω)中，艾森斯坦整数具有可形成一个交换环的性质，然后，我们可以将艾森斯坦整数进行一定的运算，最后去得到艾森斯坦整数环，记为Z[ω]，艾森斯坦整数环是一个欧几里德域，根据艾森斯坦整数的定义，在区域D={(x,y)|-4≤x≤4,-4≤y≤4}上，可通过Matlab绘制出艾森斯坦整数在复平面上对应的点，如图2所示。

图2 艾森斯坦整数的前5个圆

观察上面的图，我们通过计算可以发现一个特别之处，有6个点一个半径为r1的圆上，这6个艾森斯坦整数点还构成了一个正六边形，所对应复数也可以计算出，类似地还可以得到半径为r2,r3,r4,r5的圆上的艾森斯坦整数，其中r5=3的圆上的6个艾森斯坦整数点也构成了正六边形，可计算出其艾森斯坦整数对应的复数。

3.2 码本构造以及优化

假设有6个用户在4个资源块上传输数据，每个用户均在传输，定义一个εk,1≤k≤K，来表示具体的传输信号状况，选择如下的因子矩阵作为本构造的因子矩阵:

由 式 可 知ε1={2,3,5},ε2={1,3,6},ε3={2,4,6},ε4={1,4,5}，对于K=4，J=6的经典SCMA码本结构来说，母星座可以简化为如下结构，

总星座可在艾森斯坦整数构成的复平面上选择的两个圆，并且圆上点的个数为6，通过分析，选择半径为r'1=r1=1,r'2=r5=3的两个圆，此时母星座可进一步简化为：

当选择两个圆之后，在这两个嵌套着的艾森斯坦整数圆上分布12个星座点，这些点构成资源块上的总星座图，为保证每个用户传输码字均有较大的最小欧式距离，将总星座图拆分成三个子星座图，分别表示为S1,S2,S3，每个子星座图S i的大小为4，这样便可满足每个用户每次发送2比特的信息，拆分的结果如图3所示：

图3 总星座拆分成子星座

在接收端，基于消息传递算法的用户检测性能[14]，主要取决于如下3个指标：相同资源块上相同用户不同码字之间的距离；相同资源块上不同用户的相同码字之间的距离；不同资源块上相同用户的相同码字之间的距离。结合以上3点，适当改变码字之间的距离，我们设计3个子星座图的码字分别为：

根据因子矩阵F，每个资源块上实际传输3个用户，并且每个用户在不同资源块上传输数据，因此，用户和子星座之间存在多种多应关系，其中的一种关系如表1所示，表中S i表示用户在资源块上传输数据所使用的星座图。

表1 用户在资源块上所用的子星座

在总的SCMA码本中，为了增大不同资源块上相同用户的相同码字之间的距离，同时保证每个用户的每个码字功率差别较小，对于表中的用户3和用户4,可以通过将子星座图S3调整为子星座图S3*，S1调整为S1*，即将码字向左循环移动一位生成新的码字：

上述每个码字的功率可用每个元素模长的平方来表示，为了同时与华为码本和已有的艾森斯坦码本进行性能比较，将每个用户的码本相对于华为的码本的功率进行功率归一化，得到新的系统码本。功率归一化的计算方法[15]表示为

其中P hw代表华为公司提出的码本矩阵中每个码字的功率，P代表功率归一化前用户码本中每个码字的功率，C P代表功率归一化后各用户码本矩阵中的元素，C代表功率归一化之前各用户码本矩阵中的元素，功率归一化后，用户码本中每个码字的功率都与华为码本中每个码字的功率相同。归一化之后新的码本如表2所示。

表2

在AWGN信道下，把采用上述方法设计出来的码本同艾森斯坦整数码本和华为所提出的码本进行仿真，在MPA算法下得到的误码率性能曲线如图4所示，从图中可以看出，相比于已有的艾森斯坦整数码本，新提出的码本在高信噪比时误码性能具有更大的增益，数据表明和华为码本相比，当误码比特率为10-4时，它增加约0.8 dB的性能增益，相比艾森斯坦整数码本码本增加约0.1 dB的性能增益，因此，本文提出的优化的SCMA码本在高信噪比下具有较好的性能。

图4 不同码本下的误码率比较

4 结语

在本文中，我们提出了一种新的SCMA码本，它是建立在艾森斯坦整数的基础上，对已有的码本进行优化，通过增大了不同资源块上相同用户的相同码字之间的距离，使得每个用户的每个码字功率差别变小，将归一化方式以及各码字功率进行调整，使得各用户之间，以及不同码字之间均保持有相同的功率，仿真结果表明，在AWGN信道中，我们所提出码本相比于华为码本和已有的艾森斯坦码本具有更大的增益。