“一元三次函数的图象和性质”教学纪实与反思

李爽

教学内容：人教A版选择性必修二 “一元三次函数的图象和性质”。

设计说明：

本课题之前，学生已经掌握了用导数工具，判断函数的单调性、求函数极值、最值。在此基础上引导学生运用数形结合、类比、特殊到一般等数学思想，并以GeoGebra软件为平台，在教师引导下对一元三次函数的图象和性质进行探索与研究。本课体现了发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，本着以学生为主体的教育理念，培养了学生主动探究的意识，激发了学生学习数学的兴趣。

教学目标：

1.知识与技能

（1）通过本节课的学习掌握一元三次函数图象;

（2）掌握一元三次函数的性质，会对性质进行简单的应用;

（3）能用一元三次函数的图象和性质解决有关问题。

2.过程与方法

（1）运用信息技术工具，让学生通过直观想象，由特殊到一般归纳出一元三次函数图象形状;

（2）运用导数进行数学抽象，分析研究函数的图象和性质。

3.情感态度与价值观

（1）本节课发展了学生的学科素养有：直观想象、逻辑推理、数学抽象。

（2）本节课培养了学生实践能力，探索精神，感受到科技带给我们的新成果。

教学重点：（1）一元三次函数的图象。（2）一元三次函数的性质。

教学难点：一元三次函数零点个数判断。

教学过程：

一、一元三次函数的解析式

师：同学们，前面我们学过一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，今天我们一起来探究一元三次函数的图像和性质。

师：类比一元二次函数的解析式，你能给出一元三次函数的解析式吗？

生：一元三次函数解析式f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）。

师：强调a≠0。

二、探究一元三次函数的图像

师：高一我们学习幂函数的时候，学过一个特殊的三次函数，它是f（x）=x³。

我们知道它是奇函数且单调递增，在黑板右侧画出图像，请同学们思考一下，给a， b，c，d赋不同的值，三次函数的图像形状也和f（x）=x³图像的形状一样吗？

生：不一样。

师：函数图像形状的不同，取决于函数的重要性质单调性，请同学们观察一下，哪个系数对图象的影响最容易研究啊？

生：d，改变的是图像与y轴交点的纵坐标。

师：类比二次函数，我们知道系数a的正负影响的是开口方向，现在老师利用信息技术工具，让系数b，c，d不动，看a取不同值时三次函数图像形状会有什么不同？

生：a>0时，图像从左下到右上呈上升趋势;a<0时，图像从左上到右下呈下降趋势。

师：现在老师让a>0 ，改变系数c，观察函数单调性有怎样的变化，函数图像形状有几种？让a<0，改变系数c，函数单调性有怎样的变化，形状有几种？

生：a>0函数图像有两种形状，单调递增和减增减趋势。a<0函数图像有两种形状，单调递减和减增减趋势。

师：只改变系数b，观察图像会发生怎样的变化？

生：形状不确定，和a，c有关。

师：通过以上变化过程，请同学们总结一下一元三次函数图像的大致形状有几种？请一位同学在希沃白板上画一下。

生：四种形状。

师：实际上我们能看到，函数图像形状的不只由一个系数决定，那是否三次函数图像的形状只有这四种呢？靠什么论证呢？

生：利用导数工具。

师：（板书求导）导函数是二次函数，那么怎么讨论呢？

生：按照系数a正负分类。

（a>0时，按照进行讨论，老师计算机软件显示导函数图像，导函数的正负决定了原函数的单调性，板书a>0和a<0两种情况，按照进行讨论的六种函数图像 可以让学生画a<0的情况。）

三、一元三次函数的性质

师：总结一下，一元三次函数图像的形状由a和确定。

（一元三次函数图像探究完毕，师生总结一下一元三次函数图像的单调性和极值情况。学生很轻松回答出，老师在PPT上演示。）

师：函数零点是高考的重点内容，请同学们讨论一下，一元三次函数的零点个数都有可能是几个呢？（让学生小组讨论，分类，给3分钟时间。）

（教师和学生一起用信息技术工具分析图像，得出三次函数零点情况。PPT演示。根据极值点的概念与零点存在性定理，用极值的符号判断三次函数的零点情况，分析二重零点的不同，总结恰有两个零点时，有一个零点还是极值点。）

师：现在我们利用所学，一起来做一道例题。

（给学生5分钟时间。）

生：方法一，按照a的符号讨论，画出两种情况的图像，选D。

生：方法二，求导，求极值，谈论a的正负，选D。

生：方法三，利用极大值点二阶导小于0，选D。

…………

反思：

本节课是基于人教2019版新教材选择性必修2一元函数的导数的课后题13题，利用计算机软件和导数工具对这道拓广探索题展开的探索和研究。

我校数学学科特色是研究如何将数学学科与技术学科在内容及课程安排上整合起来，优化课程资源，鼓励学生进行探索和发现。本节课运用了GeoGebra软件，相比几何画板，GeoGebra操作简单，可实现的功能多。关于系数d对图像的影响，应该保留原函数图像，再改变系数d，直观效果会更好。

我校数学课程建设要求每一节课都要落实数学学科核心素养。本节课发展了学生的学科素养有：直观想象、逻辑推理、数学抽象。运用信息技术工具，让学生通过直观想象，由特殊到一般归纳出三次函数图象形状，并利用导数，进行数学抽象，分析研究函数的图象和性质。

我校课程建设还要求结合学生年龄特点和学科特征，有机融入社会主义核心价值观，中华优秀传统文化等。本节课培养了学生实践能力，探索精神及科技带给我们的新成果。

本节课课堂容量大，且有一定难度，尤其在数学抽象方面体现明显，但这也正是国家课程校本化的一个体现。我校一直进行分层次教学，和我今天一同上课的学生们展示了他们良好的思维能力，学习能力。关于例题，学生用三种方法解决，其中用二阶导数解决问题的方法虽然快，但不提倡。第三种方法由于时间关系没有给学生充分的时间去阐述，以后还是把时间交给学生。

■ 編辑/魏继军