有限群的δ-置换子群

2021-10-21 02:39高建玲毛月梅
西南大学学报(自然科学版) 2021年10期
关键词:群系素数子群

高建玲,毛月梅

山西大同大学 数学与统计学院,山西 大同 037009

本文所考虑的群皆为有限群.用G表示群,p表示素数,π(G)表示|G|的所有素因子组成的集合,|G|p表示G的Sylowp-子群的阶.对群系F,用ZF(G)表示G的所有F-超中心正规子群的积.用U表示全体超可解群组成的群系.所有未说明的符号与术语都是标准的,可参看文献[1-2].

有限群结构的确定是有限群研究的根本问题,这方面的研究已有许多结果,如文献[3-10].运用置换子群的性质是研究有限群结构的一个重要手段.因此,置换子群的概念被很多学者多次推广.其中,文献[6]引入了子群的δ-置换性:令集合δ是G的Sylow子群的完全集,即对每个p∈π(G),集合δ仅包含G的一个Sylowp-子群,若群G的子群H置换δ中的所有元素,则称子群H在G中δ-置换.并证明了:若F为包含全体超可解群U的饱和群系,下列两条等价:

1)G∈F;

文献[7]得出:若Gp的极大子群在G中δ-置换,其中Gp∈δ,p∈π(G)且p最小,那么G为p-幂零群.文献[8]得出:设p∈π(G),P∈Sylp(G)且H为G的p′-Hall子群,使得G=P·H,令集合δ是H的Sylow子群的完全集,如果G满足下列两条:

1)NG(P)/CG(P)是p-群;

2)P的所有极大子群在H中δ-置换.

那么G为p-幂零群.

文献[9]从Gp以及Gp∩F*(G)的所有子群的δ-置换性两方面刻画了有限群的结构.另外,文献[10]针对次正规δ-置换子群的嵌入性进行了研究,并针对δ-置换性对有限群结构的影响进行了研究.本文将从子群的阶以及非Frattinip-主因子两方面讨论准素数子群的δ-置换性,进一步刻画有限群的结构,得到超可解群的新判别准则,并将以上结论推广.

1 记号及引理

δN={GpN:Gp∈δ}δN/N={GpN/N:Gp∈δ}δ∩N={Gp∩N:Gp∈δ}

定义1[6]假定H≤G,集合δ是G的Sylow子群的完全集,若H置换δ中的所有元素,则称H在G中δ-置换.

假设P是一个p-群.若P不是非交换2-群,记Ω(P)=ʊ1(P),否则记Ω(P)=ʊ2(P).

引理3[12]假定F是一个可解饱和群系,P是G的正规p-子群,且C是P的Thompson临界子群[13],若P/Φ(P)≤ZF(G/Φ(P))或Ω(C)≤ZF(G),则P≤ZF(G).

引理4[12]假设C是非平凡p-子群P的Thompson临界子群,则

引理5[14]若群G的广义Fitting子群F*(G)是可解的,则F*(G)=F(G).

2 主要结果

定理1设P是G的正规p-子群,集合δ是G的Sylow子群的完全集.假定P有一个子群D,满足1<|D|<|P|,且P的每个阶是|D|的子群H在G中δ-置换.进一步,当P是非交换2-群且|P∶D|>2时,假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换,则P≤ZU(G).

证假设结论不成立,令(G,P)是使得|G|+|P|为最小的反例.假定N是G的极小正规子群且包含于P.按以下步骤导出矛盾:

步骤1 若|N|<|D|,则N是G的包含于P的唯一的极小正规子群,满足P/N≤ZU(G/N)并且|N|>p.

设H/N是P/N的子群,满足|H/N|=|D|/|N|或|H/N|=2|D|/|N|(若P/N是非交换2-群,|P/N∶D/N|>2且exp(H/N)>2),则H是P的子群,满足|H|=|D|或|H|=2|D|(若P是非交换2-群,|P∶D|>2且exp(H)>2).由假设知,H在G中δ-置换.因此由引理1知H/N在G/N中δN/N-置换.由G的选取可知P/N≤ZU(G/N).若|N|=p,则P≤ZU(G),矛盾.所以|N|>p.假定R是G的包含于P且不同于N的极小正规子群.因为NR/N≤ZU(G/N),又因NR/N是G/N的极小正规子群,故|R|=|NR/N|=p,这可推得|R|≤|N|<|D|.类似前面的讨论有P/R≤ZU(G/R),因此有P≤ZU(G),矛盾.所以N是G的包含于P的唯一的极小正规子群.

步骤2 |N|=|D|.

再由N的极小性易知N1=1或N1=N,而1<|D|<|N|,矛盾.

以下假设|N|<|D|.由步骤1知P/N≤ZU(G/N).若N≤Φ(P),则由引理2有

P/Φ(P)≤ZU(G/Φ(P))

再由引理3知P≤ZU(G),矛盾.故N≤|Φ(P).由步骤1可知Φ(P)=1.假设U是N在P中的补,N1是N的极大子群,满足:N1在G的某个Sylowp-子群Gp中正规.不失一般性,可设Gp∈δ.因为

|D|<|P|=p|U||N1|

故|U|≥|D|/|N1|.不妨取U的阶是|D|/|N1|的子群V.令T=N1V,则|T|=|N1V|=|D|,由假设知T在G中δ-置换,因此对任一q∈π(G)且p≠q,取Q∈Sylq(G)且Q∈δ,有TQ=QT.因为

故Q≤NG(N1),显然Gp≤NG(N1).假定q1,q2,…,qt是π(G)的所有与p不同的元素,Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ,则

从而|N|=p,与步骤1的结果矛盾.因此|N|=|D|.

步骤3 |D|=p.

步骤4 最后矛盾.

当P是非交换2-群时,由步骤3及定理假设知P的所有素数阶或者4阶循环子群在G中δ-置换.首先证明G有唯一的正规子群R满足:P/R是G的主因子,R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

令P/R是G的主因子.显然,(G,R)满足定理假设.再由(G,P)的选择有R≤ZU(G).若|P/R|=p,则P/R≤ZU(G/R),因此P≤ZU(G),矛盾.故|P/R|>p.假设P/L是G的主因子,且满足P/R≠P/L.类似前面的讨论有L≤ZU(G).由引理2有

P/R=RL/R≤RZU(G)/R≤ZU(G/R)

在此情况下,可得出与上面相同的矛盾.因此G有唯一的正规子群R满足:P/R是G的主因子,R≤ZU(G)并且|P/R|>p.

假定C是P的一个Thompson临界子群.若Ω(C)

因P/R∩Z(Gp/R)>1,取

L/R≤P/R∩Z(Gp/R) |L/R|=p

定理3假设G是p-可解群,集合δ是G的Sylow子群的完全集,P∈Sylp(G)且P∈δ.若对G的任一非Frattinip-主因子H/K,都存在P的一个极大子群P1,使得P1在G中δ-置换,且H/K≤/P1K/K,则G是p-超可解群.

证假设结论不成立,令G为极小阶反例.

假设N是G的极小正规子群.下证G/N满足定理条件.设(H/N)/(K/N)是G/N的非Frattinip-主因子,则

H/K≅(H/N)/(K/N)≤/Φ((G/N)/(K/N))≅Φ(G/K)

且H/K是G的p-主因子.由假设知,存在P的一个极大子群P1在G中δ-置换且H/K≤/P1K/K.若N是p′-子群,则P1N/N是PN/N的极大子群.若N是p-子群且N≤/P1,则P=NP1.因为G的每个Sylowp-子群覆盖G的所有p-主因子,故H≤PK=P1K,与H/K≤/P1K/K矛盾.所以N≤P1,因此P1/N是P/N的极大子群.由引理1可知,P1N/N在G/N中δN/N-置换.显然有

(H/N)/(K/N)≤/(P1N/N)/(K/N)

由G的极小性可知,G/N是p-超可解群.若N≤Op′(G),则G是p-超可解群,矛盾.故N是交换p-子群.易知N是G的非Frattinip-主因子,由假设得,存在P的一个极大子群P2在G中δ-置换且N≤/P2.所以P=NP2.由假设知,对任一q∈π(G)且p≠q,取Q∈Sylq(G)且Q∈δ,有P2Q=QP2.又因

故Q≤NG(N∩P2),显然P≤NG(N∩P2).假设q1,q2,…,qt是π(G)的所有与p不同的元素,Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ,可得

因此N∩P2=1或N≤P2,这两种情形都不可能.

因此,结论成立.

猜你喜欢
群系素数子群
贵州湄潭湄江湿地植物多样性研究
两个素数平方、四个素数立方和2的整数幂
超聚焦子群是16阶初等交换群的块
唐山市湿地植物资源研究
有关殆素数的二元丢番图不等式
子群的核平凡或正规闭包极大的有限p群
关于两个素数和一个素数κ次幂的丢番图不等式
关于素数简化剩余系构造的几个问题
南阳市湿地植物资源现状
关于宜阳县湿地资源调查若干问题的解析