状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程解的存在唯一性*

李晓月， 王 奇

(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

由于系统的脉冲时刻与系统状态有关，因此具状态依赖脉冲微分方程成为微分方程领域的难点问题，已有结果主要研究方程解的存在唯一性及稳定性，详见文献[1-7]。受已有文献的启发，利用不动点方法研究状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程

(1)

1 预备知识

记C(J,R)表示从J到R的连续函数组成的空间，其范数为

其中xk=xk(t),t∈(tk,tk+1]。

定义2.1[8-9]对任意函数h∈L1([a,b],R+)，定义其分数阶积分

定义2.2[8-9]函数h在区间[a,b]上有定义，定义其Riemann-liouville分数阶导数为

其中n=[α]+1，[α]为取整函数。

定义2.3[8-9]对任意函数h在区间[a,b]上有定义，定义其Caputo分数阶积分为

其中n=[α]+1，[α]为取整函数。

引理2.1[10]若β>0，a(t)是区间[0,T),T≤+∞上的非负局部可积函数，b(t)是区间[0,T),T≤+∞上的非负、非减有界连续函数，y(t)是区间[0,T),T≤+∞上的非负局部可积函数。若

则

2 主要结论

(H1)f:J×R→R连续，存在函数M∈LP(J,R+),N使得

(H2)τk∈C1(R,R)，k=1,2,…,m，并且

0<τ1(x)<…<τm(x)

τk(Ik(x))≤τk(x)<τk+1(Ik(x)),x∈R。

定理2.1 若条件(H1)和的第二式及(H2)、(H4)及均满足，则方程式(1)至少存在一解。

证明首先考虑以下问题：

(2)

定义F:C(J,R)→C(J,R)的算子为

(3)

① 在C(J,R)中取函数列xn→x，则由(H1)易得Fxn→Fx，n→∞，即算子F是全连续算子。

② 取C(J,R)中有界集

由条件(H1)及赫尔德不等式得

(4)

(5)

即算子F把有界集映成等度连续的。由Arezela-Ascoli定理知算子F是全连续的。

④ 考虑集合

K={x∈C(J,R):x=λFx,0<λ<1}

的有界性。

对任意x∈K，则由条件(H1)，类似于以上推导，有

(6)

|x(t)|≤a(t)Eβ(b(T)Γ(β)tβ)≤H

(7)

即集合K有界。

由Schaefer不动点定理得算子F存在不动点，即方程式(2)的解，记解为x1(t)。 考虑函数

rk,1(t)=τk(x1(t))-t,t≥0,k=1,2,…,m

(8)

由条件(H2)得rk,1(0)≠0。若rk,1(t)≠0，t∈J，则x1(t)是方程式(1)的解。

下面考虑存在t∈J使得r1,1(t)≠0，由r1,1(0)≠0及r1,1(t)的连续性，存在t1∈J使得r1,1(t1)=0及r1,1(t)≠0,t∈[0,t1)。由条件(H2)得rk,1(t)≠0,t∈[0,t1),k=1,2,…,m。

考虑以下问题

(9)

在C([t1,T],R)定义算子F1为

(10)

类似于步骤一可得，算子F1是全连续的，有不动点x2。考虑函数

rk,2(t)=τk(x2(t))-t,t≥t1,k=1,2,…,m

(11)

若rk,2(t)≠0,t∈(t1,T]，则

(12)

是式(1)的解。考虑在t∈(t1,T]使得

r2,2(t)=0

(13)

由条件(H3)得

(14)

由r2,2(t)的连续性，存在t2>t1使得r2,2(t2)=0及r2,2(t)≠0,t∈(t1,t2)。由条件(H2)得

rk,2(t)≠0,t∈(t1,t2),k=2,…,m

(15)

(16)

与条件(H4)产生矛盾。

步骤三、类似于步骤一、二，利用数学归纳法，可以得到

(17)

的解xm(t),t∈(tm,T]，从而得到方程式(1)的分段连续解

(18)

由条件(H2)的第二式及(H3)的第二式，利用压缩映射原理得：

定理2.2 若条件(H1)和的第一式及(H2)、(H4)均满足，并且

则方程式(1)存在唯一解。

4 结束语

和文献[1]比较，条件(H1)比文献[1]的条件(H2)更加宽松，已改进文献[1]的相关结果。