人工智能时代背景下的离散数学教学模式

王 朝,程 凡

(安徽大学 计算机科学与技术学院,合肥 230601)

人工智能(Artificial Intelligence，AI)是计算机科学领域中涉及研究、开发用于模拟和扩展人的智能的理论、方法及应用系统的一门新兴科学[1]。当前，AI已成为国际公认的新一轮产业变革核心驱动力，正深刻改变着人类生产生活方式，推动经济结构调整和社会生产力不断进步，同时也不断推动教育行业的深度变革[2]。作为计算机学科的重要领域，AI发展需要相关人员具有扎实的计算机学科的专业基础知识[3]。离散数学作为计算机学科的核心基础课，其课程内容与AI相关理论有着密切联系，例如逻辑推理是AI发展最早期的理论基础之一[4]。将AI相关理论融入离散数学课程教学内容中，一方面可以激发学生对离散数学的学习兴趣和热情，另一方面也便于学生了解人工智能领域现状和发展，实现理论结合实际一体化教学[5]。同时，离散数学课程内容抽象晦涩、零散繁多，再加上课时数不足，线下课堂教学模式很难完成所有知识点的教学[6]。AI作为一种技术手段，能对离散数学传统教学模式进行改革，如钉钉用于管理学生出勤，大学MOOC平台能提供大量的精品课程供课前预习，雨课堂、学习通平台能全面跟踪学生学习进度、进行实时交流讨论、高效布置批改作业，从而大大提升教学效果。特别是新冠肺炎疫情期间，基于人工智能技术的线上教学模式发挥了重要作用。

孙登第等以理论教学为基础、以实践应用为主线对离散数学教学过程进行全面总结，倡导将教学体系、教学方法、教学内容和教学实践四个阶段紧密相联，逐层推进，形成针对信息安全专业的一套离散数学教学体系[6]。苏庆等结合新工科建设形势对离散数学课程教学提出改革方案，重点针对与后续课程脱节、与实践应用脱节和与编程训练脱节三大问题提出一系列建设性意见[7]。周晓聪等针对新工科建设中培养新兴工程科技人才的要求，分析离散数学课程作为计算机类专业基础理论课，需要在创新性、综合化、全周期工程教育中有所提高，提出以培养离散建模能力为核心的课程目标定位[8]。孟慧等设计基于移动 APP 的翻转课堂教学模式，并给出了具体课堂组织及实施过程，最后通过蓝墨云移动学习平台的数据说明教学实践效果[9]。然而，随着人类社会进入AI时代，如何实现离散数学课程内容与AI之间的紧密联系进行综合授课，如何利用AI技术更好地为离散数学课程教学服务、对离散数学教学模式进一步改革提升，是“人工智能+教育”复合型高水平人才培养模式的具体实践。

文中针对人工智能时代特征，结合新工科背景[10]和“双万”计划要求[11]，从两方面对离散数学的课程教学进行探讨：一方面，通过分析人工智能与离散数学之间的关系，探讨将AI相关知识与离散数学课程内容相结合，以实化虚，便于学生对抽象知识点的理解，激发学生学习兴趣；另一方面探讨如何将人工智能技术运用到离散数学的课堂教学过程中，充分利用各种基于AI技术的网络教学平台，改进教学模式，提高教学效果。

1 结合AI理论的离散数学课程内容

在人工智能时代背景下，离散数学课程教学不仅要保证传统内容的基础性，还要结合AI等相关理论知识，不断更新教学内容[12]。离散数学通常包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分。离散数学的基本内容在AI的研究中起基础理论支撑作用。例如，符号主义学派认为AI源于数理逻辑推理，后来又发展了启发式算法、专家系统、知识工程理论与技术，为人工智能的发展作出重要贡献，尤其是专家系统的成功开发与应用，对AI走向工程应用和实现理论联系实际具有特别重要的意义；AI中无人机编队飞行调度、智慧城市物流任务分配需要利用集合理论、关系和函数对事物间联系进行形式描述；新一代计算机构架的开发离不开基础代数系统知识的更新和发展；社交网络分析、电力网能量分配、智能交通系统规划、无线传感器网络部署常常利用有向图、无向图等进行描述分析网络系统个体之间的相互关系。

1.1 数理逻辑与专家系统

数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支，是离散数学最重要内容之一，也是后续集合论、图论和代数系统的基础。由于这部分知识比较抽象难懂，需要结合人工智能场景进行形象化，从而让学生感知数理逻辑不是那么枯燥无味且无用，让学生深刻体会实际问题符号化的好处，领悟推理规则和构造性证明方法的严谨以及其中乐趣。专家系统是AI中最重要也最活跃的一个应用领域，它实现了AI从理论研究走向实际应用、从一般推理策略探讨转向运用专门知识的重大突破。专家系统是早期人工智能的一个重要分支，它可以看作是一类具有专门知识和经验的计算机智能程序系统。本质上，专家系统是以逻辑推理为基础的一套数据库，可以有效解决联结主义不能处理的因果关系推理难题。因此，以专家系统为工程应用背景，理论与实际相结合，促进学生对数理逻辑基础理论的高效学习。

1.2 集合论与推荐系统

集合论是研究集合的数学理论，主要内容包括集合、关系和函数，在实际生活中有着广泛的应用。在AI时代背景下，推荐系统通过存储大量用户的喜好数据，分析个体用户的行为，向用户推荐对他们可能有用的产品，从而创造用户价值。而集合论与推荐系统有着紧密联系，其中，采用集合概念对需要推荐的客户进行分类；运用关系图、关系矩阵对推荐系统中海量的数据进行分析；建立数据库，运用二元等价关系进行数据挖掘并完成分类任务；偏序关系是网页智能排名推荐的核心；而函数是评判推荐系统中所使用的AI算法时间和空间复杂度的基本手段。通过将集合论知识与AI推荐技术相联系，学生也不会觉得集合论知识枯燥无味、抽象难懂。

1.3 代数结构与新一代智能计算机系统

代数结构是从某种具体的运算体系中抽象出一套运算规则，建立一个公理体系，用于计算机进行高效规则化运算。例如当前代数结构中最简单的是群，即一种符合结合律的可逆运算，通常称为“乘法”。假设这种运算也符合交换率，那么称为阿贝尔群。假设有两种运算，加法满足交换率和结合律，乘法满足结合律，且两者之间满足分配率，这种丰富一点的代数结构叫做环，如果环上的乘法满足交换率，称为可交换环。假设一个环的加法和乘法具有所有良好性质，就称为一个域。基于域，可以建立一种新的结构，能进行加法和数乘，构成线性空间。现代计算机运算都是基于这种代数结构演化规则，如果今后能找到描述类比的代数结构，人类就能以更精准的方式描述思维乃至计算思维。如果能够如此，未来能开发更接近人脑的新一代智能计算机系统，将极大促进人工智能的发展。

1.4 图论与智能调度系统

图论以图为研究对象，描述某些事物间的特定关系，主要包括二部图、欧拉图、哈密顿图、平面图以及无向树和生成树，被广泛应用于社交网络分析、机器人任务分配和最优任务规划和调度。智能调度就是充分应用有关问题领域内的知识，尽可能减少组合爆炸，使得最佳调度或组合问题获得有效解决的调度方法。智能调度又称基于知识的调度，是AI重点研究领域之一。现实生活中无处不存在调度问题，如航班调度、船舶调度、车辆调度、车间流水线调度等，而图论可以很好地解决这一类问题。以货运车辆调度为例，车辆调度是指设计车辆行驶路线，使车辆在满足一定的约束条件下，有序地通过一系列装货点和卸货点，达到诸如路程最短、费用最小、耗时最少等目标，而图论中的最小生成树Dijkstra算法可以用于解决此问题。教师可以将货运车辆调度问题作为课程导入，引导学生深入分析讨论，再结合算法原理和问题场景进行实例分析，从而激发学生的求知欲望，培养学生发现问题、解决问题的能力。

2 结合AI技术的离散数学教学模式

基于离散数学课程特点，运用人工智能技术对其教学过程、教学管理和评价手段三个方面进行探讨，构建 “人工智能+离散数学”的全新教学模式。

2.1 基于雨课堂的离散数学教学过程

清华大学“学堂在线”推出的智能教学工具“雨课堂”，将PPT、MOOC和手机微信融为一体，将课前-课上-课后的每一个环节都赋予全新的体验，并将三者有机联系，快捷免费地实现大数据时代的智慧教学，包括师生多元实时互动、教学全周期数据分析等, 雨课堂桌面电脑端PPT插件界面如图1所示。课前教师可以将所需学习资料(包括教学大纲、教学视频、预习习题、带语音讲解的教学课件)推送到雨课堂创建的班级，学生在微信里查收推送消息并进行课前预习，同时教师端可以及时获取学生预习情况的相关数据，及时掌握学生在预习过程中的障碍，从而对课程讲解过程进行重点把握。为促进学生更加积极地参与预习环节，可以将预习的完成情况作为平时成绩的一部分。课堂上，教师打开雨课堂进行PPT讲解，学生在手机端可以同步观看，当学生有听不懂的知识点时，可以点击“不懂”按钮，教师端就会收到这一反馈信息，对这些知识点进行重点讲解；雨课堂的“弹幕”和“投票”功能可以实现课堂上的分组讨论，例如对“为什么要将命题公式统一等价为主析取范式，有什么好处？”展开讨论，并根据弹幕内容生成词云，一方面调动学生积极性，另一方面通过讨论加深对知识点的理解。离散数学很多知识点需要做题才能理解巩固，雨课堂提供的随堂测试支持选择题、填空题和主观题等多种题型，可以通过课上限时作答及时了解学生对知识点的掌握情况，从而调整教学节奏、合理推进教学进度。课后，雨课堂会向教师手机端推送名为“课后总结”的消息，包括优秀学生和预警学生名单、习题作答成绩、不懂反馈详情等，方便后续针对性地复习，学生端可以通过回放视频对存在疑惑的知识点进行复习。

图1 雨课堂桌面电脑端PPT插件界面

2.2 基于优慕课智慧平台的离散数学教学管理

目前离散数学教学模式还是以教师课堂讲授为主，其中考勤管理、收发批改作业、考试成绩考核及分析十分繁琐。优慕课智慧教学管理平台包括课程组织管理、课程资源准备、线上活动设计、课程网站建设和学习统计分析，可以对学生出勤、知识点掌握情况进行实时反馈和督促，增强学生学习的自觉性和积极性，通过对教师端和学生端两方面数据收集和分析，建立智能化的教学管理手段，促进学生自主学习和师生互动交流，全面提升课程的教学质量和学生学习成效。新冠肺炎疫情期间，安徽大学以优慕课在线教育系统作为教学管理平台，对教师和学生进行一体化管理，教师可以提前布置预习内容，上传教学相关材料，对学生进行出勤管理；学生可以远程提交作业，实时查看课程内容。特别是课程活动中，可以布置批改课程作业，进行答疑讨论、在线测试、课程问卷，以及建立一些试题库，为学生学习提供全方位服务。

2.3 基于多元智能理论的离散数学评价体系

传统的评价体系仅包括平时成绩(30%)和期末成绩(70%)。平时成绩教师更多看的是平时作业，而课堂表现成绩仅凭印象打分，带有很大的主观性。期末考试抽查知识点范围有限，具有一定偶然性，并不能全面反映学生的学习情况[13]。基于认知主义和建构主义的多元智能理论强调人的智能是多方面的，需注重观察能力、理解能力、交流能力、批判能力和创新能力等多方面能力的培养，这就要求所建立的评价体系能客观全面地对学生进行评价。为此，对基于雨课堂和优慕课智慧平台收集的多源数据进行分析，将过程性评价和结果性评价综合考虑，建立包括平时作业、互动讨论、考试和课程创新四方面的评价指标，具体评价指标比重如图2所示。作业包括课前预习作业和课后习题作业两部分；互动讨论包括课堂上发弹幕投票和课下与老师交流研讨两部分；考试分为课堂测试、期中考试和期末考试三部分；课程创新包括课程论文和课程实践两部分。课程论文是指学生对课上所学的理论知识进行自主研究，以理论联系实际或者知识重新思考等内容作为课题思路，通过查找文献，进行理论和应用创新，撰写科技论文；而课程实践是指学生参加知识竞赛、解决实际工程问题以及学术交流，鼓励学生走出去，学以致用，进而提高学习效果。

图2 基于多元智能理论的离散数学评价体系

3 结束语

在人工智能时代背景下，结合新工科和“双万”计划要求，对计算机学科中的离散数学课程改革方案进行探究。通过分析人工智能理论与离散数学课程内容之间的关系，分别对数理逻辑、集合论、代数结构和图论等内容进行重塑，实现知识点与应用精准对应，助力学生专业知识体系的构建；探讨将人工智能技术运用于离散数学教学模式的提升，具体在学习过程、评价手段和教学管理三个核心方面提出建设性方案，以期教师能高效管理学生的学习进程，增强课堂多样性和趣味性，及时掌握学生的学习情况，促进学生高效灵活学习，培养离散建模思维和创新思维，推动“人工智能+X”的复合型人才的培养。