数学表达力的多元价值及培养策略

摘 要 数学表达力是学生在一定的场景中恰当地运用数学的思想语言表达数学问题或者数学模型的能力。数学表达力的培养对促进学生理解数学知识、发展思维能力、开展数学交流、促进情感发展、解决生活问题具有重要意义。教师应树立“以人为本”思想，为学生的数学表达创设敢于表达的氛围，构筑乐于表达的平台，指导善于表达的方法，拓展有效表达的空间，增强学生数学表达的理性思维能力，养成良好的数学表达习惯，逐步提升有质量的数学表达素养。

关键词 数学表达力 教学价值 培养策略

什么是数学表达力呢？不同的人有不同的看法。有教师认为数学表达力在表达形式上是用一段话或者一个相对系统、完整的句群进行表达，表达内容上既有观点阐述又有理据分析，既能用数学语言表达数学思想又能用数学方式表征实际问题的深层次数学表达[1]。也有教师认为数学表达力就是学生在数学学习中，将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等，用恰当的数学语言准确流畅地表达出来的能力[2]。笔者认为要准确揭示它的内涵，需要考虑以下几个因素：表达的主体——小学生，其思维尚处于具体形象向抽象思维过渡的阶段;表达的形式——数学语言，其特征是准确、简洁、抽象和严谨;表达的对象——数学问题或者说数学模型;表达的目的——情境交流的需要等。因此，笔者认为数学表达力就是指学生在一定的场景中恰当地运用数学的语言表达数学问题或者数学模型的能力。

一、数学表达力的多元价值

1.数学表达力是学生理解建构数学知识的桥梁

作为一门学科，数学有其自己独特的特点：抽象性、精确性和应用的广泛性。这些特点对提高人的科学文化素质具有重要的意义。学生在学习数学知识的过程中，一般都伴随着语言的内化过程（也就是数学表达），进而促使数学知识的自主建构生长。比如教学负数的意义，教材呈现用负数表示低于零度的温度和用负数表示低于海平面的海拔高度数据，让学生在比较中直观地感悟正数和负数是一组相反意义的数量。但仅有这样的例子对负数的意义理解显然不够。一位老师精心设计了这样的活动：让学生联系自己生活实例，借助画图形式描述生活中正数和负数的具体含义，并作出解释。有学生说妈妈信用卡上的金额有正数和负数，分别表示花钱和还钱的金额;还有学生说爸爸公司去年因为疫情亏了一些钱，今年经济转好又赚了很多钱;有的学生画出楼梯的负一层和楼上第一层，是以地平线为分界线划分的……通过多个直观情境数据含义的表述，学生对正数、负数本质意义的理解水到渠成。

2.数学表达力是促进学生思维生长的动力

在笔者多年的教学实践中，一直深切地感受到学生常常会遇到心有灵犀却口难开的囧境，这其实就是学生思维面临顿悟的一种征兆。这个时候如果能借助一些学生熟悉的材料让学生的思维外显表达出来，理解也就水到渠成了。比如苏教版《数学》一年级下册“两位数加两位数（进位加）”，教学例题34+16，首先借助小棒操作或者计数器操作，让学生理解个位相加满十必須向十位进一的道理，就需要组织学生反复观察比较，叙说操作的过程，即个位的6加上4，正好捆成一捆即1个十，十位3个十加1个十再加进过来的一个十，一共是5个十，所以在十位写5。有条理地表达操作过程和笔算过程，既是学生数学表达力的形成过程，也是学生的思维从具体算理的感性认识到抽象算法的概括理解过程。

3.数学表达力是用数学语言表征世界的方式

如何用数学的语言表达世界？就是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表征问题，用数学知识与方法构建模型并解决生活实际问题[3]。换言之就是建构一个数学模型。比如圆的周长，古人早就有“周三径一”的表述，这一模型是古人经历长期的生活观察形成的规律认识。如何让学生经历这样的发现过程？笔者在教学中先组织学生实践操作：用绕绳法或者滚圆法测量几个大小不同的圆的周长与直径，再分别计算出它们的比率。通过计算、比较，学生逐步发现并得出“圆的周长和直径的比率总是三倍多一点” 这样的规律。

4.数学表达力是理性思想和理性精神生长的促进剂

通过数学表达，学生可以学会清晰地表达自己的数学思维、数学情感，而在表达的过程中，学生也逐渐感悟到数学语言的准确、简洁、抽象、严谨，这些就是数学思想与理性精神的深层观照[4]。比如教学分数的意义，在三年级时我们只能要求学生说出这样的话：把一个物体平均分成几份，表示这样一份或者几份的数就是分数。而到了五年级，就可以要求学生把分数意义的描述提升到较为抽象的表述：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或者几份的数就是分数。从“一个物体”“一个计量单位”和“一些物体组成的整体”到单位“1”，跳跃的不仅仅是知识的抽象，更是数学理性思维的适度提升。

二、数学表达力培养策略

1.营造学生敢于表达的氛围

要培养学生的数学表达力，首先要学生肯表达、爱表达。但不同的学生生活习性和性格气质都不相同。日常教学中，常常会遇到学生羞怯、不敢回答问题的情景，这时教师一方面要耐心等待、鼓励和启发，不要轻易代替或者否定其错误的表述，努力增强学生数学表达的信心。另一方面要善于营造学生敢于表达的环境。比如，教师用幽默的教学语言吸引学生，创设学生感兴趣的情境激活学生，提出挑战性问题驱动学生，努力使学生处于一个身心放松、积极有趣的对话氛围。

小学生基本处于具体运算阶段，他们的思维发展逐渐呈现从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维，数学语言的表达往往呈现出不够严谨、缺乏条理等特点，需要我们弹性地对学生提出适度的表达力目标，引导学生从“照样子说”到“说自己的话”，从“说一句话”到“说一段话”，把“浅说”变为“深说”，渐进发展。比如：要求学生在一个正方形里面画一个最大的圆，总有一部分孩子很随意地在里面画一个他认为最大的圆，这个时候，需要教师正面干预：你怎么说明你画的圆是最大的圆？逼迫学生主动运用数学概念作出解释。这时学生的思维就会从随意的结果式画图转变为理性的过程性推理，主动纠正为：因为最大的圆的直径等于正方形的边长，应先画出正方形的两条对角线，将交点作为圆心，再量出正方形边长的一半作为半径，这样画出的圆面积最大。这一严谨的数学表达过程，与数学操作的严谨推理相辅相成。值得注意的是，对数学表达的规范程度不应该死板统一，应考虑学生实际情况做到适度要求，逐步促使学生形成良好的数学表达力。

2.搭建学生乐于表达的平台

良好的数学表达力的形成，不仅需要对话，更需要适时的反思。教学中教师要及时组织师生、生生展开交流讨论和回顾反思，在反思中促进对话、内化思维，不断增强数学表达力。这种对话与反思，可以是学生出现数学表达错误时，引导他们析错辨错主动建构;可以是对解题方法进行重新剖析，将数学表达由个别推向一般;还可以是直观活动之后引导学生用数学的眼光理解问题、解决问题、感悟基本数学思想[5]。

比如教学平行四边形面积，一开始将一个平行四边形通过拉动框架变形为长方形，提问：平行四边形的面积有没有改变？为什么？有人说面积变大了，因为高变高了。有人说不变，因为四条边没改变。这里教师鼓励所有的学生参与讨论，互相补充、积极表达不同的思想。学生在争辩中逐渐学会数学表达要以理服人、条理清楚、观点鲜明、论据充分。在学生通过多个平行四边形的转化操作与交流后，教师又及时组织反思：平行四边形面积可以怎样计算？通过刚才的学习有哪些收获？使学生在特殊化归为一般的深刻体会中逐步内化自己的思维方式，将对数学思想方法的认识上升为数学思维策略，并反过来进一步促进学生数学表达力的提升[6]。

3.增强学生善于表达的能力

在日常数学知识的教学中，不仅要鼓励学生说课题、说操作、说思路、说想法，还要说得有理有据、准确规范，并使之成为数学学习的重要方式和思维习惯。比如学生在学习平行概念时，常常有“两条不相交的直线就是平行线”这样不够严谨的表达。如何让学生意识到这种说法的错误呢？上课时教师出示一个长方体框架模型，让学生在模型上找出几组平行线，并说明它们为什么互相平行的道理。当有人说“因为它们永远不相交”时，教师有意识指出上底面的一条长和下底面的一条宽，让学生观察后说说新的想法。这时有学生发现：尽管这样的两条直线没有相交，但却不是平行线。这又是为什么呢？这时教师将长方体的表面用六个长方形围起来，再次引导观察发现：原来上底面的长边和下底面的宽边不在同一个平面上，所以尽管没有相交，但也不是平行线。教学到此为止，似乎已经结束了。但教师又提出：上底面前面的长边和下底面后面的长边，好像也不再同一个平面上，它们是不是平行线啊？为什么？教师启发学生想象一下：能不能找到一个面正好把两条长边放在上面？在教师启发下，有学生终于想到可以做一个斜面插进去，使得上底面前面的长边和下底面后面的长边都在同一个平面上。在这个活动中，学生对“在同一个平面内”这一关键词的表述印象特别深刻。数学中的严谨推理和准确表达，使得每一个结论都是牢固的、不可动摇的。这种思想有助于提升学生的数学素质。

4.拓宽学生有效表达的空间

提升数学表达力必然与数学阅读、数学倾听等密不可分。对数学倾听力的培养，不仅要求学生耐心倾听，更关键是指导学生注意倾听对方的数学表达是否准确、清楚、简洁，数学推理是否有理有据。在倾听其他同学发言时应教育学生不要匆忙下结论、给建议，更不要因为与对方不同的见解而产生激烈的争执。对数学阅读力的培养，应指导学生学会思考：书上讲的什么、有什么样的道理、为什么是这样表述、有没有不同的想法等问题，主动融入自己的数学思维，而不是人云亦云。

数学表达力除了口头语言训练外，还有数学语言的符号化表达和数学写作训练。关于数学语言的符号化表达，这方面的研究已有很多，本文暂不作讨论。关于数学写作，可以是课堂开展的实践研究报告，也可以是学习心得体会，或者数学故事等等。笔者在训练学生的数学写作时，常常指导学生结合亲身经历的数学实践活动，完成一篇数学实践研究小报告。比如，教学三角形面积计算时，当讨论完书本方法之后，教师提出延学任务：书本用两个同样的三角形转化为平行四边形求得面积，我们能不能只用一个三角形就转化为学过的图形呢？希望大家课后动手做一做，并写出你的实践过程。在第二天的练习课上，教师邀请几位写得比较好的学生进行现场展示和讲解。因为学生亲身经历了研究过程，对三角形的剪拼细节特别清楚，对三角形面积计算公式的获得及其蕴含的转化思想的印象也更为深刻。

如何提升学生的数学表达力，需要我们进一步转变教学观念，积极创设学生敢于数学表达的氛围，精心构筑学生乐于表达交流的平台，切实指导学生善于数学表达的方法，拓展有效数学表达的空间，努力增强学生的理性思维，养成良好的数学表达习惯，逐步提升学生的数学表达力。

参考文献

[1] 苏光.从“浅表達”到“深表达”提升小学生数学表达力的实践与探索[J].数学教育通讯，2021（04）：7-10.

[2] 张云.言之有理：学生数学表达力的应然追求[J].小学数学教育，2020（18）：32-34.

[3] 史宁中.学科核心素养的培养与教学：以数学学科核心素养的培养为例[J].中小学管理，2017（01）：35-37.

[4] 张顺燕.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社，2004.

[5] 彭永新.引导“回顾与反思”，积淀“数学活动经验”[J].长三角：教育，2012（02）：71-72.

[6] 彭永新.思考力、批判力和表达力：自主学习的核心动力——“平行四边形的面积”教学新思考[J].小学教学：数学版，2018（12）：43-44.

[责任编辑：陈国庆]