具非局部条件的非线性分数阶微分方程耦合系统的正解

齐超凡, 薛春艳

(北京信息科技大学 理学院, 北京 100192)

分数阶微分方程在不同领域的许多实际问题中有着广泛的应用[1]。分数阶导数的主要特点是非局部性,因此分数阶导数力学控制方程数值模拟的计算量和存储量是巨大的。

分数阶导数的定义主要有3种形式:Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和Caputo定义[2]。Caputo定义常用来表示时间的分数阶导数,Riemann-Liouville定义在数学上更为严格,但在数值计算中由于需要考虑分数阶的初边值条件而更难处理。积分边界条件广泛应用于血流问题、化学工程、热弹性、地下水流动、种群动力学等领域。对于积分边值问题的详细描述,可以参考最近的一些论文[3-7]。

研究分数阶积分边值问题的完全非线性耦合系统的文献很少,分数阶微分方程耦合系统的研究在应用性质的各种问题中也很重要[8-10],但很少有论文考虑具有非局部条件和参数的非线性分数阶微分方程耦合系统[11-14]。

受现有文献的启发[15-19],本文考虑带参数和积分边值的分数阶微分方程耦合系统:

(1)

本文基于求解算子方程组的一种新方法,即具有矢量的Krasnoselskii锥不动点定理[20],研究算子方程组(1)正解的存在性。本文解决(1)的方法与以前的文章完全不同。

1 预备知识

定义1 函数u(t)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下:

定义2 函数u(t)的α阶Riemann-Liouville分数阶导数定义如下:

其中:α>0;n=[α]+1;[α]表示不大于α的最大整数。

1) 若‖ui‖=ri,则ui-Ni(u)∉Ki,且若‖ui‖=Ri,则Ni(u)-ui∉Ki;

2) 若‖ui‖=ri,则Ni(u)-ui∉Ki,且若‖ui‖=Ri,则ui-Ni(u)∉Ki。

那么N有一个不动点u=(u1,u2),使得ui=Ni(u1,u2)且ri<‖ui‖

在本文中,假设以下条件成立:

(H1)fi:[0,+∞)→[0,+∞)是连续的,i∈{1,2};

(H2)hi:[0,1]→[0,+∞)是连续的,i∈{1,2};

定理2 假设条件(H1),(H2),(H3)成立,那么u是系统(1)的解,当且仅当ui∈E,i∈{1,2}是下面方程的解:

其中

G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)

推论1 函数G1(t,s)具有如下性质:

1)G1(t,s)=G1(1-t,1-s);

2) 对于任意t,s∈(0,1),G1(t,s)>0;

3)k(1-t)k(s)≤Γ(α)G1(t,s)≤(α-1)k(s);

4)k(1-t)k(s)≤Γ(α)G1(t,s)≤(α-1)k(1-t)。

推论2 函数G(t,s),对于任意(t,s)∈[0,1],具有以下性质:

k(1-t)k(s)≤Γ(α)G(t,s)≤Lk(s)

2 主要结果

在此部分,将运用定理1来研究系统(1)的正解存在性、局限性和多重性。

若υ∈K,则定义

根据推论1和推论2,对于任意t∈[a,b],有

在E=C[0,1]中定义2个锥P1,P2:

则在E2中对应的锥为P:=P1×P2。

引理1T:P→P是具有分量(T1,T2)的全连续算子,那么T(u)=(T1(u),T2(u)),u=(u1,u2)∈P2,其中

不难看出,求解系统(1)的正解等价于求解P中的积分系统的正解:

给定αi,βi>0,满足αi≠βi,令ri=min(αi,βi),Ri=max(αi,βi),i∈{1,2},且

定理3 假设存在αi,βi>0,且有αi≠βi,i∈{1,2},使得

那么系统(1.0)至少存在一个正解u=(u1,u2),且ri<‖ui‖∞

证明 首先若u∈Pr,R,r1<‖u1‖∞

Mr1

得出对于t∈[a,b],u的轨迹是包含在矩形(Mr1,R1)×(Mr2,R2)中的。

同时,若‖ui‖∞=αi,那么对于t∈[a,b],ui(t)≤αi且对于t∈[a,b],Mαi≤ui(t)≤αi;

证明对于任意u∈Pr,R,i∈{1,2},以下性质成立:

ⅰ) 若‖ui‖∞=αi,那么Tiu-ui∉Pi;

ⅱ) 若‖ui‖∞=βi,那么ui-Tiu∉Pi;

假设‖u1‖∞=α1,若有T1u-u1∈P1,那么对于任意t∈(0,1),

这与α1<α1矛盾。

假设‖u1‖∞=β1,若有u1-T1u∈P1,那么对于任意t*∈(0,1),

这与β1>β1矛盾。

因此,对于i=1,条件ⅰ),ⅱ)成立;同理,对于i=2,也成立;根据定理1可知算子T至少存在一个不动点u,那么系统(1)至少存在一个正解u=(u1,u2)。

证明 应用定理1,对于任意k∈{1,2,…,N},得到一个正解uk满足

因此,得到uk(k∈{1,2,…,N})是N个不同的正解。

推论4 特殊地,若f1,f2不依赖于t,即f1=f1(u1,u2),f2=f2(u1,u2),且f1和f2关于u1,u2具有某些单调性,u1∈[Mr1,R1],u2∈[Mr2,R2],则可以选定l1,l2,L1,L2的值。

例如:若f1,f2关于u1,u2是单调递增的,那么

3 结 论

本文研究了一类耦合的带有积分边界条件的非线性分数阶微分方程系统的正解的存在性,同时研究得到该系统正解的局限性和多重性。