回应学生思路 促进素养发展

王盈慧

摘要：在《对数函数的图象和性质》一课的教学中，学生提出从指、对数函数互为反函数的角度展开研究。指数与对数本质是同一数量关系，正是本单元的“大观念”，教师积极回应学生的思路，优化调整原有设计，在关键处、疑难处设计问题串，让全体学生充分活动思考，从而使其数学素养得到发展。

关键词：对数函数;反函数;学生思路;问题串

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）17-092

在教学设计与实施中，教师要根据学生的思路、体验等学情优化问题任务，引导学生去把握学习内容的本质，促进其深度思维，从而有利于学生主动发展数学素养。

下面，笔者以人教A版必修第一册4.4.2《对数函数的图象和性质》的设计为例，预设的研究思路是类比幂函数、指数函数，从特殊的y=log2x入手，列表、描点、画图，再画出更多不同底数的对数函数图象，然后利用GeoGebra软件中的“滑动条”画出y=logax（a>0，a≠1）的图象，最后，归纳出对数函数图象及其性质。

问题1：请你说出对数函数的概念？并谈谈“对数源出于指数——欧拉”的理解。

学生：y=logax（a>0，a≠1）叫作对数函数;y=ax（a>0，a≠1）与y=logax（a>0，a≠1）在本质上是同一数量关系，只不过字母x，y对调了。

问题2：y=logax（a>0，a≠1）是一类新函数，我们研究它的什么？怎样研究？说说你的研究思路。

设计意图：1.巩固研究函数的一般方法，这是本章着重培养的数学素养;2.启发学生回忆幂函数、指数函数的研究过程。

学生1：我们已经学习了对数函数的概念和定义域，还要研究它的图象，并进一步得出其性质;我想先由特殊的y=2x的图象得到y=log2x的图象，进而解决一般的对数函数的图象。

或许学生对对数运算还不熟悉，没有对y=log2x列表、描点、画图，而是想从问题1揭示的y=2x与y=log2x的联系入手。

学生2：由20=1知y=2x的图象过点（0，1），y=log2x的图象过点（1，0），由21=2知y=2x的图象过点（1，2），y=log2x的图象过点（2，1），这是两对关于直线y=x对称的点，所以函数图象也关于直线y=x对称，再由换底公式y=logax（a>0，a≠1）=1log2alog2x，就能变换得到一般的对数函数的图象。

学生的回答并不是教材预设的研究思路，但对“指对数的统一性”的理解契合我对这一章的整体设想，换底公式的运用更是超出了我的预期。我积极评价了两位同学的研究思路，调整教学设计，提出了如下问题串：

问题串：（1）对比画函数y=2x图象时的表格，完成画函数y=log2x的列表，表格当中你有什么发现？

（2）函数y=2x图象上任意一点M，记为M（a，b），则点 在函数y=log2x的图象上。这两点有怎样的位置关系？

（3）对于函数y=log2x图象上任意一点P，是否也有（2）中的特征？

（4）函数y=2x与y=log2x的图象有什么关系？它们的定义域、值域之间有什么关系？展示你得到的对数函数y=log2x的图象及性质。

（5）类比y=ax（a>0，a≠1）的图象和性质，给出你对对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图象与性质的归纳整理。

设计意图：y=ax与y=logax（a>0，a≠1）本质上是同一数量关系，是本章的“大观念”，这样对数函数的研究也要对底数a分类讨论，对数函数图象的位置、公共点和变化趋势都能由指数函数的图象和性质推得。

因势利导，在归纳对数函数图象和性质后，指出“指数函数y=ax（a>0，a≠1）与对数函数y=logax（a>0，a≠1）互为反函数”。

设计意图：将反函数调整为本节课的目标之一。

例题：1.比较下列各题中数值的大小：

2.解下列关于x的不等式：

设计意图：1.学会构造函数并用函数性质解题;2.体会分类讨论的数学思想;3.体会借助中间量比较大小的方法;4.引导学生注意对数函数真数、底数的限制。

课堂小结：

问题3：结合图象，我们得出了对数函数的哪些性质？

问题4：本节课的学习历程是怎样的，体现了哪些数学思想和研究方法？

設计意图：1.知识上引导学生总结指数函数和对数函数的图象及性质，并能初步运用函数性质解决问题。

2.本节课带给学生的思想方法和学法更为重要，通过学生的课堂小结可以进一步落实直观想象、逻辑推理等核心素养，培养学生形成数学研究方法。

教后反思：

问题2引导学生从关注知识转向关注方法，学生成为研究思路的主人，从而习得数学思维方法。学生的学习是建立在已有认知和体验基础之上的，他们有能力从对数函数与指数函数互为反函数的角度考虑问题，甚至推及一般情形也是以换底公式为依据，值得肯定。客观上，沿着学生的思路加大了难度，为突破难点，面向全体同学的素养发展，问题串的设计就很有必要，这一环节提供了学习的支架，要让学生充分活动思考，与学习任务深度互动。实践表明，学生是优秀的研究者，在解决问题中达到了对知识深层次的理解。

（作者单位：江苏省前黄高级中学，江苏 常州213100）