挖母题衍生一课 建题链深度千思

张海东

摘要：本文主要研究初中数学章节复习课“一题一课”复习方式：一题多变提模型、一题多生题组拓思维和一题多解优策略，以问题引领探究为主线串联复习课，促进学生思维深化和学科素养提升。

关键词：一题一课;母题;问题链;变式

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-33-429

一、从复习课現状反思研究方向

常态课复习课在一线老师凭经验上课的惯性思维引导下逐步演变成“练习课”、“讲题课”，虽有练习的变式或递进，很少从学生思考解决问题的角度去分析问题，去反思解题，知识网络多“告诉”学生，由此学生很少去思考习题背后的知识体系、问题解决过程中蕴含的数学思想和解法的通性。老师拒绝复习展示课——“复习课难上，上不出活力，讲了多遍学生还会出错”，学生不想上复习课——“枯燥，炒冷饭没胃口”。

反思研究方向：数学“教学过程是一种提出问题、解决问题的持续不断的过程” （布鲁纳），可尝试以问题引领探究为主线串联复习课，使章节主题知识和蕴含的数学思想、学生活动经验依附其上，助力解题方法剖析，融汇思维贯通，提升学生的数学学科素养。

二、指向深度学习的“一题一课”复习方式研究实践，让复习实效落地。

“一题一课”复习课是以精选的一道例题、习题或一个问题为复习主线，挖掘其内在价值去“借题发挥”，组织合理有序的探究活动，达到复习巩固章节某类知识或综合运用系列关联知识的教学目标。

波利亚曾说过“从一道有意义但不复杂的题目，帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”，教师应立足课标，立足教材母题，基于学生的认知基础和学习经验去精选源题，围绕源题设计层次性、梯度化、有一定新意的变式题组，并设计好引导思考的问题链，使学生能从低起点的基础题开始，沿着梯度习题和教师搭建的思考脚手架拾级而上，使学生在问题解决中掌握基础知识，训练基本技能，积累学习经验，领悟数学思想方法。

“一题一课”复习课教学流程一般可设计为：复习目标确立呈现源题（母题）学生解母题回顾知识点师生编拟、拓展变式母题（形成问题链）选择性呈现问题应用知识解决问题链解题反思建构知识网络（一题一梳理）提炼思想方法或通法。以上教学环节可重复使用，或在某几个环节反复循环。教师要舍得时间引导学生根据母题情境和知识结构去设计问题链，让各层学生在思维发展最近区解决对应的层次问题，清楚认识到解决问题的不同方法与策略，积累解题经验。同时串联知识点，强化学生对数学知识和思想方法的理解、变通，培养学生的复合思维。

（一）一题多变提模型

围绕一个基本图形或典型例习题，对其进行条件或图形或问题背景等内容的变化（添加或减少或变更），从类比、拓展、逆向思考等不同角度进行变式，使一题衍生成一类题。师生在获得解决基础题策略的基础上，对问题进行挖掘（题目的共性）、引申、加工改造和延伸，提炼出解题策略（即模型），引导学生探究变式题组的解决方法，达到举一反三触类旁通的目标。如全等三角形和相似三角形单元复习课教学中围绕“一线三等角”或“补充判定条件”设计专题复习课。为此教师在教学预设时要进一步理清核心知识的内涵与外延，以整体观架构单元复习的例习题取向，关注典型结构特征及体现通性通法的数学问题，挖掘知识所蕴含的思想方法与育人价值，让学生经历知识、方法、经验的再认识，再生长、再创造的过程，形成以核心知识为生长点的认知结构。

（二）一题多生题组拓思维

选择一道基础题作为复习的起点，通过对条件添枝加叶，使题目之间有联系又有变化，由易到难引导学生应用知识进行循序渐进的研究，使每一题的价值都得到提升;或隐去原题的结论，开发成开放性问题，引导学生运用类比、联想等发散思维，对问题进行多角度的探究。将复习课常见“教师知识结构+典型例习题”方式改为“学生建构知识网+师生创编（改编）问题链”，从基础题、中档题的解答过渡到提升题与综合题，力求通过题目来夯实基础，以题得法，以题悟道，让学生经历更多的解题过程，体会简单的源问题引发编织出的精彩知识网络，使学生解题后获得相应的解题经验，达到思维的“低开高走”。

数学教学离不开问题的变化，在“一题多生”方式的复习课教学中基于教材的研读与课标的理解，从学生“学”的角度，从教学目标的结果逆向设计问题，确立达成目标的具体做法（即教学方式与教学过程），设计符合学生认知规律和“最近发展区”的问题，将学生理解作为教学问题设计的重中之重。教学重点一方面在引导学生在原有问题的基础上进行发散，提出新的关联问题，另一方面要在学生思考解决问题的方向和思路方法上适当引导。

案例1《二次函数》单元复习课：

问题设计意图解读：二次函数是初中代数学习的一个难点，该章知识点多，习题融合的知识也多，如何将知识整合在问题中，通过学生自主应用知识解决问题的过程中理通知识，提升学生学科素养是章节复习课预设时必须思考并解决的问题。在本案例中，我以一道学生解决过的母题为基础，融合考查要求设置或让学生参与编拟问题，衍生出系列题组。其中问题1考查学生二次函数的解析式知识的掌握与理解层次，需要学生根据条件合理选择适宜的解析式类型（以此梳理二次函数重点知识：二次函数的三种解析式及对应的条件，形成知识结构思维导图），也为后续关联问题的设计与编拟创下知识的基础。问题2是一个开放性问题，考查学生对二次图像与性质的理解，引导学生从图像特征，函数性质等不同角度获得自己理解的信息，让各层次学生都有话可说。问题3、4、5是学生编拟问题，其中问题3学生从图像入手解决问题（关键看各点离对称轴距离的远近）;问题4、5是考查二次函数图像平移的规律和实质的理解与应用。学生较快应用知识解决（并提炼出知识点结成网）。问题6是学生对同伴编拟问题基础上的变式。问题7、8、10考查二次函数与方程不等式联系，让学生用不同方法解决，可利用函数解析式得到的不等式、方程，转化为解不等式或方程解决，更应引导学生利用图像直观分析图像解决问题，考查学生数形结合和转化思想。问题7、10教师引导下创编，问题8教师追问下改编，题与题关联、延展或变式。问题9是特殊的三角形与二次函数结合的中档思维题，在原图基础上学生要分点P在CE的上方和下方两种情况讨论，根据点P坐标分别表示出PE、CE长，由条件构造方程求解，并注意范围，既要分类讨论，又考查数形结合。题延伸的关联性问题较多，涉及一次函数章节的不同内容（除实际应用没有关联到），而且问题组的思维层次也不同，本题讲评主体是中上生。问题11在问题9解答基础上，引导学生借助图中两个函数解析式表示出点P、Q坐标，获得线段PQ的函数关系式，根据函数性质解决问题。问题13是本节复习课拓展延伸题，引导学生回顾问题12 解决思路，通过构造直线PQ转化成两个较易表示的三角形，由上题线段PQ代数式表示出△MNQ的面积，进而获得函数关系式。

（三）一题多解优策略

教师选择一个策略开放性典型习题（学生选择知识点不同，策略也一样），使不同层次学生探究出多元解决途径，用自己方法解决问题。教学中，教師要给与学生充足时间去思考，选择知识点去探究解题思路，或根据问题情境结合知识、学习经验自主设计方法，然后展示学生解法（板演图形），学生交流分享方案，教师以参与者去追问学生应用的知识点。在多种方法呈现后，教师要引导学生比较不同解法并进行归类，从中找出最优解法，在发散学生思维的广度的同时，多法提优提升学生的思维精度。。

案例2：锅盖半径的测量方法探究

《直线与圆的位置关系》章节复习中，设置如下问题情境：小明家的木质圆形锅盖使用过程中破损，需要重新让木工师傅重新制作一个一模一样的锅盖。木工需要知道原来锅盖的半径，请你帮木工师傅设计一种方案测量锅盖的半径。

教师出示引导性问题：确定破损圆的半径，关键是确定什么？你选择哪一个知识可以解决这一问题？请作出示意图，图中相关线段或角可以用a，b，r.α，β，γ等表示。

学生呈现不同策略方案，教师将不同方案（图形结合知识点、必要的求解过程）展示在黑板上，并追问对应知识点（板书），形成不同解题思路的思维导图（如图）。

教学解读：圆知识涉及九上《圆的基本性质》与九下《直线与圆的位置关系》两章节，若《圆的基本性质》单元复习课中设置圆半径测量问题，学生能想到的方法有限，置于《直线与圆的位置关系》复习时，学生可选择更多样化的方案，促进学生在问题分析、解决中建构圆的知识网络。教学中多数学生首先想到的是圆的基本性质（三点定圆）和垂径定理推论、圆周角定理推论去设计测量方案（方案1、2、3）。也有学生参考教材中的例题和教辅资料中的习题想到根据切线的性质得到测量方法5、6。策略4和7是教师巡视指导后学生提出的新测量方法，二者的共性都要转化为直径是斜边的直角三角形，策略4应用等角转化三角函数求解直径，策略7是构造相似三角形。课堂教学方式以学生小组合作、师生互动方式展开，测量的相关数据由学生根据测量方案的图形共同研讨确定，直径（半径）的计算过程由学生自主思考完成（教师板书）。最后教师引导学生比较测量方案，选择最合适、方法最自然的几种测量方案，并说明理由。一个生活问题衍生出多种测量方法，唤醒了学生头脑中章节知识，把圆模块知识整合成一个完整的知识网络图，也让学生活用中体验到“数学有用有价值”。

三.指向深度学习的复习课，我们怎么做——实践研究的反思

复习课是否有效不在于学生做了多少题，做了哪些题，而是我们一线教师在“下水做题”基础上从学生角度去针对性选题，从课堂学生参与度、课堂教学的生成问题等全方位统筹预设，凸显问题设计;在课堂里重视问题引领，注重以题理知识，以题生成新问题，带着学生从知识的记忆巩固走向探究问题的“根”，从浅层思维走向高阶思维，才有可能使常态复习课不是“简单复习”，而是从“基于答案”走向“通过答案”的深度复习。

参考文献

1. 郑晓燕.基于“一题一课”的初中数学变式教学例析——用“三角形相似比”解决动点路径长问题〔J〕 理科考试研究：2019.3

2.刘国祥. “一课一题”：撬动深度学习的教学智慧〔J〕 数学通讯： 2019年第11期（下半年）