联结·整合·推演·扩散

朱群芳

【摘 要】本文以“三角形三边关系”一课的教学设计为例，探究基于动态操作教学环境下的教学方法，以提高学生课堂参与度，培养学生的实践能力，促进学生自主、合作、探究的学习方式的养成，最终引领学生的思维水平从低阶走向高阶，实现能力与素养共同提升。

【关键词】动态操作 动态想象 动态思维

一、研究缘起

（一）一次教学实践

在教学“三角形三边关系”一课时，学生在教师的引导下，利用三角形三边关系，对问题“一个三角形的三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，那么第三条边可能是多少厘米？”进行探究。学生得出了第三条边的取值范围：第三条边如果是最长边，那么已知的两条边就是较短边，它们的关系就是3+4>（ ），最长边就是6;如果第三条边是最短边，那么4就是最长边，它们的关系就是3+ （ ） >4，最短边就是2。所以第三条边就应该在2～6之间，最后得出结论：两边之和>第三边>两边之差。课堂上，当时学生们似乎都已经明白了第三条边的取值范围，教师自感教学效果比较好。随后，教师用以下两道习题来进一步了解学生的学习效果。

（1）三根小棒长分别是3厘米、3厘米、7厘米，请判断它们是否能围成三角形。

（2）一个三角形其中的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么第三条边最长是（    ）厘米，最短是（    ）厘米。（三条边的长度都取整厘米数）

测试结果：习题（1）全班学生都能正确作出判断，正确率达100%;习题（2）的正确率是62.2%。从比格斯团队的SOLO分类评价理论来看，习题（1）是对学生低阶思维水平的测试，学生正确率很高;习题（2）则是对学生高阶思维水平的测试。从测试数据分析来看，学生答题情况与教師教学这部分内容的教学效果有很明显的出入。

（二）反思

本课操作性强，为了帮助学生主动建构知识网络，深刻理解三角形三边关系的本质，教师需要考虑让操作材料活起来、关联起来，操作过程以一定的逻辑推进，充分引发作为操作主体的学生不断自我发问、释疑，进而让学生伴随着鲜活的操作过程展开一系列的想象和思维，在一系列的操作过程中积累大量的第一手感性经验，形成正确的知识点，建构起三角形的三边关系概念，从而达到培养学生从具体形象思维走向高阶逻辑思维的学习目的。

二、再分析与再设想

（一）对教材的再分析

三角形三边关系的学习注重实际操作，不但要引导学生从直观层面把握三角形，更要从关系层面把握三角形。在人教版教材中，它是小学四年级下册《三角形》这个单元“三角形的特性”中的其中一部分内容（见图1）。旨在引导学生从摆三角形入手，经历“操作—观察—比较—推理—验证”等过程，得出“三角形两边之和大于第三边”的结论，培养学生的操作能力和逻辑思维能力。

（二）对教学的再设想：以动态操作去深度建构

基于以上分析与思考，笔者认为，关于“三角形三边关系”的教学，采用动态操作教学模式，选择合适的操作材料，改变操作材料的呈现方式，引领学生经历动态操作、动态想象、推理与验证的过程，以辨析、归类、推理、验证、形成概念的探究形式，可以完成三角形概念的深度建构，形成一个内涵丰富、鲜活可变的三角形概念。以下展示教学流程（见图2）：

三、联结·整合·推演·扩散的探索

（一）联结——起于行，收于思，在实践操作中强化三角形概念

动态操作教学倡导营造生动活泼、积极主动、富有个性的学习氛围。三角形三边关系的学习，需要实现学生对三角形概念从浅表性的感性认识到相对精准认识的跨越，引导学生在“说一说—摆一摆（指导规范操作）—想一想”的学习过程中，强化对三角形的认识，有效实现与原有知识体系的联结，实现起于行，收于思。

1.强化概念，加深理解

在学生原认知的基础上指导学生摆三角形，一方面，重现三角形的模型，再次直观感知三角形，为研究三边关系做好铺垫;另一方面，潜移默化地指导了围的方法，为后续的操作活动做示范，很好地解决了操作材料客观性的问题。而用吸管作为学具，是因为人教版配套学具袋里每生备有一套，方便且可行性强。

2.引起猜想，激发探究

在这样的操作中，原本存在于学生头脑中的大量的三角形生活原型就会浮现出来，让学生在围得成与围不成的认知冲突中再次审视、碰撞、激疑，从而产生进一步动手摆一摆验证的欲望。

（二）整合——鉴于思，再于行，在动态操作中感知三角形三边关系

考虑到操作材料的选择及呈现方式的问题：独立的几组材料不具有关联性。本环节设计，教师试图通过把几组操作材料进行整合后整体呈现，让学生带着问题经历“自主组合—动手操作—辨析归类（动态演示）—得出结论”的探究过程，初步整体感知三角形三边关系。

1.打破模型，感知关系

可以由用3根吸管围一围，改为从4根吸管中选择3根去围一围，打破既有模型，教学材料的开放性与关联性为动态操作提供可能。学生在选一选、围一围、换一换、再围一围的动态操作中直观、全面感知三角形三边关系，在操作、观察、比较中想象，在探究中发现，最后在辨析中逐步完善认知，达成初步建构，充分发挥学习的主动性。

2.展示操作，动态激活

从学习环节的逻辑性来看，以“四选三”的形式，形成4组不同的组合（①10cm、5cm、4cm;②10cm、6cm、4cm;③10cm、6cm、5cm;④6cm、5cm、4cm）。有序组合的4组存在关联，学生通过换一换就从“围得成”变成了“围不成”，又从“围不成”变成了“围得成”的操作活动中感悟到：两条短边之和大于第三边——围得成三角形;两条短边之和小于第三边或与第三边相等——围不成三角形。于是有了如下的教学：

[操作提示]

每人4根吸管，长分别为：10cm、6cm、5cm、4cm。

（1）任选3根围一围，可以怎么选？有几种选法？

（2）这几种选法都能围成三角形嗎？

（3）围一围，把结果记录下来。

（4）思考：3根吸管，什么情况下不能围成三角形？什么情况下能围成三角形？能否围成三角形，和什么有关？怎样调整边的长短就能围成三角形？

[反馈交流部分环节]

师：把10cm、6cm、5cm这一组中6cm这根换成4cm，大家都认为围不成，为什么围不成呢？请你摆一摆，具体说一说。

（生操作演示）

师：这位同学围的时候一直在把两根吸管活动的一端慢慢往下压，你觉得他为什么要这样做？

生：这样能让两根吸管的端点越来越接近，可是就算放平了（见图3），这两个端点也没能接上，所以10cm、5cm、4cm这一组不能围成三角形。

师：把前面这一组中的5cm这根换成6cm，其他两根不变（10cm、6cm、4cm），对于能否围成三角形，请大家说一说想法。

生1：把5cm这根换成6cm来围（见图4），3根吸管首尾相连了，所以围得成三角形。

生2：虽然做到首尾相连了，但是高不见了，所以围不成三角形。

师：吸管本身有一定的宽度，围的过程会有比较大的误差，如果把这3根吸管变成细细的线段，误差就会小得多。我们看电脑演示一下。（边放边问：接上了吗？——接上了吗？——现在接上了吗？）

生：接上了，可是现在和最长边重合了，所以还是围不成三角形。

学生在动态操作中自然地将从直观层面把握三角形转向从三边长短关系层面把握三角形，特别是“两边之和与第三边相等能否围成三角形”这个问题出现争议时，教师放慢围三角形的过程，让学生看明白：3根吸管如果不能做到端点相连或所有端点都在同一条直线上，则围不成。这一动态操作不仅帮助学生达成了统一意见，还进一步提出猜想：两条短边之和比第三边长，能围成三角形。在热烈的探究中，学生不断修正、完善认知，思维循序渐进，步步走向深入，最后架构起新的认知结构，学生的逻辑推理能力也自然而然地获得了提升。

（三）推演——再于行，深度思，在动态操作中验证并形成三角形三边关系概念

数学学习，不仅要使学生学到数学知识，还要养成严谨的学习态度。采取数形结合，通过改变动态操作，组织学生以画一画、量一量、算一算、比一比的方式，在大量的多样化的具象三角形的支撑下，可以进一步验证前面得出的结论。

1.数形结合，丰富表象

一个“以四人小组为单位，组内同学画的三角形尽量不一样”的要求，丰富了感知的材料，弥补了前面摆三角形时种类单一的缺陷;在方格纸上画三角形，为学生能快速准确地画出不同种类的三角形提供了便利，操作方式设计巧妙。

2.验证推理，提升逻辑

交流环节，通过设问“看看我们围的、画的三角形，除了两条短边之和大于第三边外，是否还存在着其他两边之和大于第三边的情况？”，引导学生再次探究，不仅让学生对三角形三边关系的认识逐步从猜想到验证、从认识不全面到深刻、从结论特殊性到一般性，强化了理性认识，同时也让学生学到了研究问题的一般方法和途径，培养了学生严谨的思维态度。在这样的思路下，教师设计了如下操作活动：

师：从刚才的探究中我们发现，当较短两边之和大于第三边时能围成三角形。那是不是任何三角形的三条边都具有这样的关系呢？请同学们在方格纸上任意画一个三角形，量一量、算一算，验证一下。

通过实践和讨论，学生们一一验证。

师：（小结）虽然大家画的三角形大小、形状不同，但是三角形的三边关系是一样的。

这一验证过程让学生逐渐从一个个的具象中抽离出来，展开深入的数学思考，达成对三角形三边关系内涵的再次深度概括。

（四）扩散——深度思，再拓展，动态操作浸润学生高阶思维

杜威认为：经验具有思维性，经验的过程就是思维的过程，而思维的开始阶段就是经验。调动学生已有的经验，对动态思维的成长和提升有着前瞻性意义。让相互联系的静态内容动起来、联结起来，并通过想象架构起完整的动态变化过程，引导学生在想象的基础上显性自己的数学思考。这就是本环节需要重点关注与实现的教学目标。

1.验证学习想象，动态建构三角形三边关系

通过课件的动态演示，带领学生回顾前面探究中发现的“如果三条线段围不成三角形，可以采用换一换的方法（让短边变长或让长边变短），变成能围成三角形”，把前面已经积累的大量有联系的静态三角形图像串联起来，同时通过设问“用10厘米、5厘米的这两条线段组成一个角，想象一下，当添上符合要求的第三边后，三角形是什么形状？继续想象，当前面的这个角变大或变小的时候，第三边的长度以及三角形形状、大小会随着发生怎样的变化？”，引发学生动态想象，让静态图像动起来。

2.动态操作浸润，活跃动态思维

以变化的角为支撑，用一把尺子代替变化着的第三边，进一步促使学生手脑并用，启迪动态想象与动态思维，把操作活动与数学思考有机地结合起来，使操作活动更具数学味。透过操作的过程和活动现象，学生不仅建构起了三角形的三边关系概念，实现从低阶思维走向高阶学习的目标，而且还学到了有效的学习方法。在这样的思路下，形成了如下教学环节：

（1）形成新的猜想

问题一：以10cm，5cm，4cm这组为例，假如10cm，5cm这两条不变，把4cm的这条边换长，有哪些可能性？

问题二：怎样验证我们的猜想呢？

（2）验证自身猜想

借助直尺其中一段代替需要的第三条线段（有刻度这边），摆一摆，验证自己的猜想。这里列举学生摆出来的其中两种情况（见图5、图6）。

（3）拓展思维深度

想一想，如果两条短边不变，换10厘米的这条长边的话，可以有哪些可能性呢？猜想并验证。已知两条线段，要找一条线段与这两条线段围成三角形，这条边的长度应该在怎样的一个范围内？在这个区间内，三角形的形状是怎样随着第三边的长度变化而变化的？

学生在用尺代替第三边来验证想象的动态操作过程中，观察到三角形三条边之间关系的不断变化，“两边之和>第三边>两边之差”的感悟也就水到渠成了。在动态操作中建构起三角形的三边关系，实现从低阶思维走向高阶学习。

四、结论

在平行班教学后，同样对“一个三角形的三条边的长度都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，那么第三条边可能是多少厘米？”进行检测，74%的学生不仅得出了正确答案，而且还能利用手中的学具，有理有据地说出第三边的变化区间，班级中近15%的学生说理过程虽然遇到了一些困难，但也能利用前面得出的规律找到正确值，教学取得了预期效果。

可见，动态操作教学可以把知识动态联结活动、动态操作活动、动态想象活动与静态思维总结活动有机地结合起来，能引领学生直观而又有深度地发现概念的内涵，完成知识的自主建构，达到思维水平从低阶走向高阶的目标，实现学生能力从单一到多元、知识从个体到系统、学习过程从枯燥到有趣、学习方式从描述到直观、认识过程从跳跃到演绎的转变。