如何让纸飞机飞得更远

何芳

我们从小就喜欢玩纸飞机这个游戏，并不由自主得发起与同伴之间的纸飞机大赛，那么怎样才能让纸飞机飞得更高更远呢？今天就从数学角度来分析这个问题：假定纸飞机的机翼是平面，通过建立合理的数学模型，计算出使纸飞机尽可能飞得远的最佳投掷角度。

1问题表述

纸飞机飞行的动力来自于出手时的动能，在投出后，若是飞机的高度保持不变，而空气阻力又会逐渐减缓飞机的速度，此时纸飞机便会用牺牲重力势能的方式换取继续向前运动的动能，因此我们看到的纸飞机多成一条滑翔轨迹。机翼与机身的比例是否恰当，投掷力度是否合理，纸飞机的重心是否合理、投掷角度是否科学等因素都是纸飞机飞的高，飞得远的关键。

2.问题分析

通过对纸飞机受力分析，研究纸飞机的抛出角度

纸飞机自身没有动力，在抛出瞬间获得一定初速度，飞行时，机翼使空气分流，形成上下压力差，产生机翼的升力，升力与阻力合成为空气动力，维持纸飞机的飞行。因此需要根据伯努利定律，对纸飞机进行受力分析，研究纸飞机的受力情况，讨论气流遇到纸飞机时，如何被机翼分成上下两股气流，形成压力差从而产生升力。

3问题的求解

（1）气压与气流对机翼的作用

根据高一物理的学习，我们可以知道空气流速越快，压强越小;反之空气流速越慢，压强越大。气流遇到纸飞机时，被分为两股气流，部分从机翼的上表面流走，部分从机翼的下部分流走。由于机翼的上表面比下表面凸出，所以上表面的气体流速比下表面的流速快，机翼的上表面压力比机翼的下表面压力小，产生压力差。两边相互较力，产生向上的推力，推动纸飞机飞行。这个原理简单的数字表达式就是伯努利定律，以下式表示，其中p表示压力。

P+1/2pv²=常数

（2）纸飞机受力原理

a动力来源：纸飞机自身是没有动力的，它只能依靠被抛出时所受的瞬间推力，上升到一定高度时依靠自身重力向前滑行。

b阻力原理：空气会对机身产生摩擦力，因此为增进飞行效率，机型应尽量设計得接近流线型，以减少阻力。

c升力原理：升力来源于前进时在主翼上产生的向上的力，而空气浮力会影响升力：流体对物体的浮力是由上下压力差而产生的。对于纸飞机来说，它的机翼很薄，机翼的上、下面与空气的接触面几乎在同一高度，因此压力差不大，假设可忽略不计。

d牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：对纸飞机的机翼进行受力分析：抛出纸飞机时，会与水平面成一定的夹角，斜向上投掷。此时机身与水平线的夹角称为攻角。空气会给纸飞机一个垂直于机翼的的力量，相对的机翼也会给空气一个反作用力，这个力量的垂直分力即为飞机的升力，水平分力成为阻力的一部分。

（4）纸飞机的受力分析

受力分析方程：

F2= Fsinθ

F升= F2cosθ = Fsinθcosθ= 1/2Fsin²θ

F阻= F2sinθ= Fsinθsinθ= 1/2Fsin²θ

由上述方程解得当θ=45°可求得F升有最大值，当θ=90°时F阻有最大值，F升此时为0。

且此时F升=F阻

1/2Fsin²θ= Fsin²θ

1/2F2sinθcosθ= 1/2Fsinθcosθ

sinθ=cosθ所以θ=45°

（5）用运动学知识建立最基础的纸飞机运动模型

若t=0时刻，纸飞机被抛出，抛出时的速度为v，抛出角为θ，纸飞机的飞行轨迹如图4所示，分析过程如下：

x（t）= vtcosθ

y（t）= vtsinθ-（gt²/2）

y/x=【vtsinθ-（gt²/2）】/vtcosθ

y/x=tanθ-（gt/2vcosθ）

可得纸飞机的运动轨迹方程：

y= xtanθ-（x²g/2v²cos²θ）

问题可转化为求（式1）式的极值问题：

对y=xtanθ-（x²g/2v²cos²θ），求导得：

y'= tanθ-（xg/v²cos²θ）

当y'=0时，x=sin²θv²/2g。 当θ=π/4时，x能达到最值xmax =v²/2g，我们得到最佳抛出角为：θ=π/4

考虑升力，阻力与机翼仰角的关系，如图所示

结论：当抛出角度为45°时，纸飞机的升力达到最大值，所以，抛出角为45度时，飞行距离会提高

4总结

因此投掷纸飞机的最佳角度约45度，同时应设计流线型机型，选择最佳的纸飞机结构以及选择硬度较大的纸等。同时猜想这个角度可以适用于投掷类项目，如铅球，链球等。

5. 文献参考：伯努利定律

在一个流体系统，比如气流、水流中，流速越快，流体产生的压力就越小，这就是被称为“流体力学之父”的丹尼尔·伯努利1738年发现的“伯努利定律”。

这个压力产生的力量是巨大的，空气能够托起沉重的飞机，就是利用了伯努利定律。飞机机翼的上表面是流 畅的曲面，下表面则是平面。这样，机翼上表面的气流速度就大于下表面的气流速度，所以机翼下方气流产生的压力就大于上方气流的压力，飞机就被这巨大的压力差“托浮”住了。