高中数学外接球内切球教学分析

朱艳鸣

摘要：通过分析外接球内切球的性质、题型，学生学习情况，研究这部分知识的教学策略。并结合各类题型具体讲解解题思路，教学思路。

关键词：外接球内切球;教学分析

外接球和内切球的问题相对比较难，需要学生有较好的分析能力，并且深刻的理解外接球和内切球的各种性质，理解各种解题方法，才能在考试中将这类题目快速正确的解答出来。

因此在教学中要着重讲解外接球内切球的性质特点，并让学生先理解，然后进行背诵。课下可以让学生们自己制作一些纸片模型来提高其空间想象能力。在分析了近几年的高考题后发现目前这类题目，发现大题比较少，选择填空题较多。

一、外接球和内切球的定义与突破点

外接球是指当一个多面体的顶点全部在一个球的球面上时，我们就称这个球是此多面体的外接球。内切球是指当一个球与一个多面体的所有面都相切时，我们就称此球即为这个多面体的内切球。

外接球的性质与解题突破点：当一个多面体为长方体时，它的外接球的球心就是此多面体体对角线的交点。当一个多面体为圆柱体时，它的外接球心与这个圆柱体上下两底面圆心的中点相重合。

内切球的性质与解题突破点：如果一个球与一个多面体的平面相切，那么这个球的球心和切点的连线与这个球的切面垂直。当一个多面体为正多面体时，这个多面体的内切球与外接球的球心在同一位置。

二、高考中外接球内切球的常见题型

1.正方体和球相组合

解决这类问题，我们通常用截面的方法来解答不同的组合去寻找几何体的轴截面将两个截面的关系进行分析，然后得出多面体的棱和半径之间的关系，然后把他们之间的空间关系转化为平面之间的关系。

例 1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

这个球的截面圆的直径即为，EF被球O截得的线段。

这个圆的半径为那么这个圆的直径为.

解题核心：分析截面圆直径与截面之间的关系。

2.长方体和球相结合

例 2 从半径为R的球面上一点M，引出球的三条两两垂直的弦MA，MB，MC，求MA2+MB2+MC2的值.

解题核心：建立一个与球有关的多面体，利用多面体与球之间的关系解答题目

3.球与锥体的切接

当球与规则椎体相切接时。通常考察椎体的表面积和体积这类问题。这时候椎体的棱与高通常与球体会产生一定的联系。结合他们的关系，便可以将问题解答出来。

解题核心：设正四面体的棱长为a，高為h;球的半径为R，这时有;（可用正四面体高h减去内切球的半径得到）

4.对棱相等模型（补形为长方体）

题目设定：一个三棱锥（即四面体）中，如果三组对棱分别相等，那么它的外接球半径为多少（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

首先建立出一个长方体，得出几条为异面直线的几个棱;

这类题目相对比较抽象，学生在学习的时候心理上会产生畏惧心理，更导致学生不愿意学习这类题目，因此在讲解这类题目的时候最好制作相关的模型，来激发学生的学习兴趣。在讲解中先讲解简单知识和题目，由易到难给学生学习的信心多鼓励他们。让他们逐步的掌握这类知识和题目。

参考文献：

[1]朱晶. “外接球”与”内切球”[J]. 数理天地：高中版. 2017（2）：10-10.

[2]杨子林. 简单多面体的内切球与外接球问题解题基本方法[J]. 高中数理化（20）：1.