解题反思孕“念头” 回归教材寻“源头”——高三解题教学中回归教材的几则案例及思考

花 奎 张晓飞

(南京师范大学第二附属高级中学 211900)

1 问题提出

高三数学复习中要重视回归教材和解题教学已成为全体教师的共识.但在教学现实中，回归教材却被大量的数学练习和解题所淹没，成了一种空洞的口号，解题教学倒是贯穿了高三复习的始终.可以说解题教学的高效与否很大程度上决定了高三数学复习的成败.解题教学的课堂上，教师(或某些极少数优秀生)一言堂、满堂灌的现象普遍存在，对学生有什么样的想法，对问题的初始研究远远不够，将解题教学演变成“题海战术”，导致学生对数学概念、方法和思想的理解不到位，呆板地记住方法，遇到熟悉的问题，套路化求解，一旦问题的情境发生变化，就不能认识其本质，找不到思路方法.因此，在高三的解题教学中，不仅要帮助学生总结归纳方法，还要充分展示思路方法的发现过程，捕捉学生的一些念头，适时回归教材，帮助学生深刻理解知识及思想方法的内涵，领悟问题的本质.下面以高三解题教学中的几则案例，谈谈借助学生的念头适时回归教材的点滴思考.

2 几则案例

2.1 探知识之源，识其命题背景

(2)点C的坐标为(-5,1)(过程略)；

图1

探究源头这一试题和参考答案经常出现在各类教辅资料书中，较为典型.这道试题是如何命制出来的，命题的背景是什么呢？源头在哪里呢?

对于数学解题，“退”是一种策略，回到起点，往往更能看清问题的本质.既然椭圆可由圆变换而来，而变换前后图形间有如此紧密的联系，研究椭圆的问题是否能退回到其最特殊的情形——圆中来思考呢?椭圆中的一些结论是否可以看作圆中的结论类比而得到的呢？

深入研究后，我们发现原问题是可以由一道平面几何题演变而来的，问题及证明过程如下: 如图2，BC是圆O一条弦，A是圆O上的点，且BC的中点在直线OA上，动点P在圆O上(异于点A,B,C)，且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，则OM·ON=OA2.

图2

证明：连结PO交圆O于点D，连结DC.因为四边形BPDC是圆O的内接四边形，所以可知∠D=∠MBC.

因为PD为直径，所以∠D+∠DPC=90°.

数学知识通常有着紧密的联系.在平面几何中学习了不少有关圆的知识，借助教材中伸缩变换知识揭示圆与椭圆密切的内在关系，通过椭圆的问题退回到圆中来思考，圆到椭圆的类比，会发现繁杂计算背后的知识源头竟如此简单，真可谓“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”.

2.2 探方法之源，揭其数学本质

图3

即2b2-c2-cbcos ∠BAC=0(1)；

cos ∠BAC=0，

探究源头这道试题考查什么样的方法，源头在哪里呢?教材中有没有此类方法的例子？基于此，引领学生做了以下的探究学习过程.

图4

图5

数学的方法不是从天而降，是怎么想到的？在平时学习了不少解题方法，显得多而杂.教学中一定要借助教材揭示技巧和方法背后本质和源头，知其然更知其所以然.

2.3 探思想之源，悟其理性思维

图6

探究源头为什么会出现如此之错误呢？其根本原因是学生用“直观”代替了“理性”，或者说学生缺乏理性的思考.

引导学生回归学习教材(苏教版)选修2—1第44页中的“双曲线渐近线的性质”解读如下：

图7

学生通过对教材的回归学习，上述解读中首先观察当点N向右移动时，直观发现随着x的增大，PM长度越来越接近于0；但这是不够的，还需要通过函数思想进行理性的证明.

同样再来研究本例中问题时，学生不难找到错误的根源：过多的直观，理性的缺失.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.应当正确运用数形结合思想，真正理解 “数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休”( 华罗庚语).

2.4 探历史之源，知其文化传承

案例4在一轮复习等比数列时，让学生回归学习教材(苏教版)必修5第55页等比数列的求和公式推导.已知等比数列{an}的第1项a1和公比q，如何求它的前n项和Sn？

解根据题意知：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

①

在上述①式两边同乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+…a1qn，

②

由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，

复习时，教师也都不自觉地复习错位相减法.不少同学有这样的念头：错位相减法技巧性很强，有没有更为一般的方法吗?

探究源头在部分学生的认知里，数学是一门充斥着复杂计算和高难度技巧的学科.不可否认计算和技巧是解决数学问题不可或缺的两部分.我们不妨去探寻历史之源，借鉴数学史宝库中蕴含的优秀数学思想方法，或许计算量是可以减少的，技巧是可以回避的，数学学习是可以“顺其自然”的.

古人虽然不了解今天的数学，但今天的数学追求的目标古人也曾追求过.教师在设计教学时，须兼顾数学知识体系的完备性和学生的认知发展水平，尊重学生学习的主体性，当对学生某些念头不知从何讲起时，不妨回顾数学知识发生和发展的全过程，站在数学史的高度上重新审视教材，在解读和重构数学史的过程中探索教学设计的优化途径.

3 点滴思考

3.1 解题反思孕育学生的“念头”

美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解题》写道：“如果你有一个念头，你就够幸运的了.无论如何，你应当感谢所有的新念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊念头得以纠正的补充性念头.即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应当表示感谢.”无须多言，学生的念头多么的重要.高三复习中，学生做过无数的题目，如果没有及时的反思，大量的题海训练必然导致思维的僵化，数学思维不但没有提高，反而会退步.反思应成为解题教学的重点，只有解题过程中让学生反思问题涉及知识点、思想方法以及背景等，才能孕育他们的一些“念头”的产生.对于学生的念头，不能轻易滑过，要引领学生去探究，顺乎自然地去帮助学生.

3.2 回归教材探寻问题的“源头”

教材是我们学习数学的根.面对浩瀚如海的数学问题，非常有必要回归教材寻找问题本源.教材一方面呈现与数学问题相关的概念、定义、定理，另一方面呈现了相关概念、定义、定理的来龙去脉(知识的生成过程)，这些都是数学问题的本源所在.高三数学复习要重视回归教材，不是简单的为了回归教材而回归，不应流于形式.特别是在解题教学中，应当通过对解题的反思，借助学生的念头，充分利用教材相关资源，探寻问题的“源头”，将相关重要知识和思想方法串起来.如案例1中依据教材的例题，让学生理解由伸缩变换可将圆的诸多性质拓展到椭圆中，体现知识和谐性，了解了当下命制解析几何试题的重要手法；又如案例2通过挖掘教材中正、余弦定理的向量证法中隐含的向量等式实数化的方法，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法.

3.3 加强研究方能引领学生探究

波利亚说过：“教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联系，和任何其他事物则完全没有什么联系.”数学问题不会无端地“迸发”出来，“问渠那得清如许，为有源头活水来”.因此，作为数学教师应加强教学研究，要研究学生，了解学情，了解学生的内在需求和可能荫生的“念头”；要研究教材，研究教材中概念、定理来龙去脉、生成过程，研究例习题的典型性、示范性和关联性，或是渗透的某些数学方法，或是体现的某种数学思想；要研究学习数学史，了解数学史料中可借鉴的思想和方法，适时融于教学.教师只有研究了，才能拥有教学机智，才不会滑过学生的一些对学习有意义的念头，才不会对学生的需求置之不理，如案例3中教师没有简单地给出正确的解法，而是让学生及时回归教材体会双曲线的渐近线的观察与证明过程，体会了数与形的关系，培养了由直觉到理性的思维；只有教师研究了，才能高屋建瓴地引领学生去探究，如案例4中教师及时利用《莱茵德纸草书》的问题发现了等比数列求和的历史之源，优化了方法，激发了学生的兴趣.

4 结语

新一轮课程改革以培养数学核心素养为目标.要想从根本上提升学生数学素养，增强学生的数学能力，追寻数学本源应当是不可或缺的途径.而教材是数学问题的源泉，回归教材的过程无论是从知识层面还是思想方法层面对数学能力的提升，都起着事半功倍的作用.因而高三解题教学应精心选择好的素材和试题，重视对解题过程的反思，捕捉学生的念头，引领学生回归学习教材，帮助学生分析问题的本质，激发高三课堂的活力，提高课堂教学的效率和品位.