基于质点弹道方程的破片外弹道特性分析

刘 官,孙 浩,印立魁,马 林,陈智刚

(1.中北大学 机电工程学院,山西 太原 030051;2.中国兵器工业试验测试研究院,陕西 渭南 714200;3.中北大学 地下目标毁伤技术国防重点学科实验室,山西 太原 030051)

杀伤弹丸作用时破片在爆轰产物作用下在2～3倍的装药半径内加速到最大,以一定的射角向外飞行,破片速度受气动阻力作用逐渐衰减。传统破片速度衰减公式仅考虑了气动阻力的影响,只适用于破片飞行距离较短的情况。而研究破片的长距离飞行,则需考虑重力作用的影响。鉴与此,本文忽略破片外形不对称的影响,考虑了重力和气动阻力2种因素,基于质点弹道方程对典型破片的飞行弹道进行了分析。

1 破片的外弹道方程

破片在空气中飞行时分别受到重力和空气阻力作用,其中重力使破片的飞行弹道发生弯曲;空气阻力使破片速度衰减,故破片的质心运动矢量方程为

(1)

式中:v为破片速度矢量;g为重力加速度矢量;ax为阻力产生的加速度矢量,按外弹道学,有:

(2)

破片运动轨迹的切向τ和法向n组成自然坐标系,如图1所示。

图1 破片外弹道示意图

由于破片速度矢量v沿破片轨迹切线方向,取切线上单位矢量τ,将v表示为v=vτ,加速度为

(3)

式中:dv/dt为切向加速度;dτ/dt表示单位矢量的矢端速度,参照炮弹外弹道理论[1],假设破片飞行攻角始终为0,只有方向在随破片运动轨迹切线转动,矢端速度方向与法向坐标单位矢量n相反,由于切线倾角θ不断减小,故可将dτ/dt表示为

(4)

不考虑破片外形不对称对气动阻力的影响,认为破片的弹道为理想的二维弹道。按图1中破片受力状态,将破片质心运动矢量方程向自然坐标系两轴分解,得到速度坐标系上破片运动方程:

(5)

对式(5)忽略重力加速度的影响,即得射线形式的破片运动方程:

(6)

对大部分破片的几何形状而言,破片阻力系数CD随破片速度变化的规律相似。在常规破片的速度范围内,破片的阻力系数随速度的增大,先增大后减小并趋于稳定,在Ma=1.4附近破片的阻力系数达到最大,如图2所示。

图2 破片的阻力系数CD与速度之间的关系[2]

为限制破片阻力系数区间的划分对计算结果产生的影响,将破片范围分为12个区间,如表1所示。

表1 速度区间划分及常见破片阻力系数CD值

式(1)中的形状系数Φ为

(7)

式中:S为破片的表面积,将式(7)简化得到如表2所示各破片形状系数。

由于破片在爆炸驱动过程中外形改变,上述计算值偏低,一般乘1.1左右的修正系数[4],钢破片的Φ值Φs一般范围在3.5×10-3～5.5×10-3m2/kg2/3[5],由表2可推出相同外形下钨破片的Φ值Φw=Φs(ρs/ρw)2/3,其值范围在2.0×10-3～3.3×10-3m2/kg2/3。

表2 理想形状破片形状系数计算式

注:文献[2-4]所给的破片阻力系数值差异较大,此处选用值偏小,算得的射程偏大。

2 典型破片外弹道计算结果

根据破片质量杀伤标准,选出2种质量的破片,分别用于杀伤人员和击穿轻型装甲,表3给出了破片的参数。

海拔高度H取为1 000 m,对式(5)所示的微分方程组,采用Matlab软件调用基于龙科-库塔方法的自适应步长的ode45函数编制程序求解。输入破片参数如表3所示,各物理量单位制按表3设置,得出破片的弹道参数数据。

表3 设定的破片参数

图3给出1.5 g钢破片典型射角下的弹道,由图可见,随着射角的增加,破片的射程先增加后减小,存在一个20°左右的最大射程角。

图3 1.5 g钢球不同射角下飞散的典型弹道曲线(炸高5 m)

图4给出2种射角下1.5 g钨球、钢球弹道及是否考虑重力作用的弹道(式(5)和式(6))的对比;可见近场弹道近似是直线,若认为破片的实际运动可近似分解为射线运动和自由落体运动,并认为式(5)表征的弹道与射线弹道高度方向的差值小于Δh,即可认为是弹道的直线段,结合式(6)导出式推出弹道直线段的水平长度:

图4 1.5 g球形破片典型弹道的对比

(8)

表4给出了不同初始射角下1.5 g钢球弹道直线段的水平长度。

表4 不同初始射角下1.5 g钢球弹道直线段的水平长度

图5给出1.5 g球形破片剩余动能-射程的变化曲线;1.5 g球形破片动能在其弹道上升段式(6)计算值略大,对式(5)计算值的偏差小于10%。由图4和图5可知,球形破片对目标的最大杀伤半径内破片弹道按直线飞行,射线弹道(式(6))在评估本文条件下破片近场的终点效应时是适用的。

图5 1.5 g球形破片剩余动能的对比

图6总结了所考虑破片的初始射角对应的最大射程和落地动能。

图6 破片最大射程和落地动能随初始射角的变化关系

从图中可发现:

①钢球和钢块在21°射角时飞散距离最远,分别为468 m,280 m;钢菱形破片则在21°射角时飞散距离最远,为170 m;钨球和钨块在21°射角时飞散距离最远,分别为1 292 m,799 m;而钨柱破片则在21°射角时飞散距离最远,为756 m。即破片的最大射程角约为21°,这是由于对比常规炮弹和枪弹,破片的弹道系数更大,速度更高,空气阻力对破片运动的影响更大,其最大射程角比常规炮弹的45°和枪弹的28°～35°更小。

②随着破片初始射角逐渐增大,破片的落地动能变化表现为先急剧减小,在约10°射角后又稍有增加。1°射角时1.5 g钢球、钢块和钢菱形破片的落地动能分别为3.8 J,1.6 J和1.7 J;9 g钨球、钨块和钨柱的落地动能分别为80 J,39 J和35 J,靶场试验中应注意对大质量钨破片的安全防护。

③相同质量的破片在初始射角确定的情况下,对于破片落地动能和最大射程,钢球、钢块、钢菱形破片递减,差异明显,钨块与钨柱基本相当,而钨球则比钨块和钨柱大得多。

3 结论

本文基于质点弹道方程、经典破片阻力公式和气动阻力系数的取值,获得计算破片弹道的方法并且研究了各类破片在不同射角下的弹道诸元。

①构建了破片弹道的两类方程,给出了球形、圆柱形、长方形、菱形破片的形状系数计算式;

②得到破片弹道直线段水平距离估算式,发现破片的射线弹道方程(式(6))用于本文条件下破片近场的毁伤效应评估误差不大;

③破片的密度、质量越小,形状系数越大,初速越高,破片的弹道越弯曲;

④本文限定条件下,钢破片和钨破片最大射程对应的初始射角约为21°;

⑤随着破片初始射角的增大,破片落地动能先急剧减小,在约10°射角后又缓慢增加。