调正教学偏差促进意义构建

芦建章

[摘 要]学生在 “乘法分配律”的作业中的错误率非常高，究其原因是没有真正理解、构建乘法分配律的意义。文章从对各类错误现象的分析出发，明确错误形成的原因，并从教材编写、知识逻辑结构、教学设计、练习设置等方面进行调整，以促进学生真正构建乘法分配律的意义，提高应用这一运算定律进行正确计算的能力。

[关键词]调正;构建;乘法分配律

笔者在教学人教版教材四年级下册“乘法运算定律”时发现：由于学生已有加法交换律和结合律的学习基础，在学习乘法交换律和结合律时，方法明确，作业的正确率非常高。但是，随着乘法分配律的引入，不少学生的认知开始 混乱，计算错漏百出。对此，笔者进行了如下的分析。

一、对错误现象的思考

【思考一】为什么会出现错误①②？从练习层次来说，这两题属于基本题，没有难度，笔者对出现这些错误的学生进行访谈，发现这些学生学习能力都比较弱，属于“模仿类”的学生，相对于乘法交换律和结合律，乘法分配律的思维层次要求比较高，仅通过一节课的学习，他们还没有真正理解和掌握，因此出现了错误的、“四不像”的模仿现象。

【思考二】为什么学习了乘法分配律后，学生计算的错误率直线上升？主要有三个原因：

1.学生的“错觉”。学习乘法分配律后，不少学生，尤其是学习能力弱的学生产生了“错觉”——只要是形如“（   ○   ）×   ”的形式，就能用乘法分配律进行计算，忽视了括号内两数间的运算形式，因而造成了错误④。

2.思维层次的递增。乘法交换律和乘法结合律中，运算符号只有“×”，不管几个数连乘，学生仅仅需要考虑的是“哪些数先乘能使计算又快又对？”，只要计算细致，几乎不会出错。而乘法分配律中，出现了两级运算，涉及拆（添）括号，思维难度大大提高。

一言以蔽之，学生在应用乘法分配律进行简便计算时之所以产生各种类型的错误，是由于没有真正理解乘法分配律的意义，没有有效构建乘法分配律的模型。

二、对教学偏差的分析

学生没有构建乘法分配律的模型，一方面是學生的差异发展造成的;另一方面，教材的编写体系、教师的教学行为也起到了“推波助澜”的作用。

1.例题编写不合理

在 “乘法运算定律”章节中，教材编排了植树的问题情境，乘法的三个运算定律都是围绕这一主题展开的。教材关于“乘法分配律”的编排情况如下：

根据教材的编写意图，预设主要教学环节与难易度如下所示：

（1）结合具体情境，用2个不同的算式计算总人数，并说明算式意义。（易）

（2）根据计算结果的意义与值，判断2个算式相等后用等号连接。（易）

（3）观察等号两边的算式特征，讨论、归纳乘法分配律，并会用字母公式表示。（易）

（4）应用乘法分配律进行简便计算。（难）

为什么前三个环节容易，第四个环节就一下子变难了呢？原因如下：

（1）前三个环节是以情境为依托，学生关注的是算式的意义：先算什么，再算什么，类似的问题在之前经常出现，所以对学生而言没有难度。

（2）教师引导学生观察等号两边式子的变化时，学生关注的是数据的特征，潜意识中思维仍然停留在借助情境理解意义上。在这样的思维层次下，学生是不可能关注符号变化情况的。

（3）仅在一组等式的基础上归纳和概括规律，素材量太少，不符合不完全归纳的要求。同时，用字母表示规律，仅需把一组等式中的数据改成字母即可，是一种“填鸭式”的行为。

（4）根据认知发展规律，数学模型构建基本过程如下：

对照教材编写可以发现：由于学习素材的不足，导致抽象化过程不充分，符号化意识不强，应用（解模）时就会“问题百出”。

基于上述分析，要使学生构建乘法分配律的模型，需根据认知规律对现有教材进行补充、提升。

2.没有找准知识的“生发点”

诚然，教材是借助具体情境、以问题解决的形式展开 “乘法分配律”的教学，易于学生感知理解、表象观察。但从数学的本质意义来说，这一知识的“根基”不实。因此，要对这一知识“追根溯源”，寻找它的“生发点”。对教材进行梳理，发现 “生发点”在二年级“表内乘法”（两个单元）的练习中。

通过观察不难发现：由6×3+6到6×4和由3×7到2×7+7、4×7-7，这些是乘法分配律顺、逆向的基本练习和发展性练习，学生借助乘法的意义很容易理解。然而，在实际教学中，不少教师以能正确计算为最终目标，忽视了对特征和规律的归纳提炼，使学生失去了一次关键的知识的储备与经验的积累机会，学生在学习四年级下册“乘法分配律”时又“从头开始”，新知就变成了“无根之木、无源之水”。可见，乘法分配律意义的构建需要两个“基石”支撑：一是结合情境，感知积累;二是深化乘法意义，形成知识体系。这两者缺一不可。

3.重表象轻意义

心理学研究表明：表象是指感知过的事物形象在头脑中再现的过程，具有直观性和概括性的特征。因此，有些教师在教学“乘法分配律”时，对教材做了调整，设计如下教学流程。

上述教学摒弃了具体的问题情境，以计算情境为入口展开教学。这样的教学模式有利于学生模仿和掌握基本的形式特征，学习能力弱的学生也能迅速掌握。但这样的模仿易流于形式，过于强化表象，不利于意义的构建。

4.练习设计不恰当

练习是数学教学的一种基本活动，其目的是“打好基础，促进发展，反馈教学”。有效的练习除了达到上述目的，还要利于发展学生的应用意识与创新能力。练习设计目的要明确，针对性要强。然而，教材中关于乘法分配律的练习设计没能很好地体现练习设计应有的目的和意义。如：配套“练习七”中的1～5题都是口算、意义判断、解决问题等形式，仅有两道算式计算题（如图3）：

7.下面每组算式的得数是否相等？如果相等，选择其中一个算出得数。

这样的练习题存在以下问题：

（1）缺少基本练习。乘法分配律的应用有“顺”“逆”两种形式，给学生构建意义带来了一定的困难，而教材却没有出现这种形式的练习，学生连基本的模仿机会都没有。

（2）形式单一，没有层次性。练习七中明确要求用乘法分配律计算只有第6题，而第6题的三道习题都属于“先拆再算”类型的提高型题目，缺少“先补再算”“先创造公因数再算”等练习形式。由于形式单一，练习还没有层次性。

可见，教材中的练习编写无论是数量上，还是质量上，都达不到本课的教学要求，不利于学生运算能力的提高和应用能力的发展。

三、实施策略

1.重视基础

在教学“乘法分配律”前，要重视学生与之相关的知识与技能的积累。一是要在解决二年级上册乘法口诀的练习时，深挖意义，且在后续教学中不断重复，深化乘法的意义，使这条“暗线”得到延伸。二是训练学生用不同的方法解决问题的能力，帮助学生发展思维，积累经验。

2.丰富素材

当学生结合具体情境用不同方法解决问题，且得出第一个等式（4+2）×25=4×25+2×25后，教师需增加得到多个类似的等式的计算情境。在多个同属性素材的基础上进行观察、归纳，才符合有意義学习的要求。同时，还要使学生的注意力从“具体情境”过渡到“计算情境”，为符号化的抽象做好准备。

3.意义建构

引导学生观察等式、归纳规律时，要“表里如一、内外互补”。

表，即外在的表象。通过色彩、箭头等形式，突出数据与运算符号的变化情况。

里，即内在的意义。对等号两边的式子，用乘法的意义加以解释，摒弃情境因素的干扰。

通过显性的观察和隐性的思考，规律的概括与归纳水到渠成，意义构建初步达成。

4.巧设练习

学习乘法分配律的意义与作用在于能灵活应用定律进行计算。根据本课的教学目标和学生的实际情况，以及乘法分配律类型的复杂性，练习要体现“量、质、层次”三个要素（此处的练习仅指计算题）。具体层次如下：

上述练习只有在保证“量”的基础上分阶段进行，才能实现提高运算能力的目标。

（责编 金 铃）