基于改进粒子群算法的斜拉桥索力优化方法

李晓林， 邓洁

(长沙理工大公路工程试验检测中心， 湖南 长沙 410076)

现代斜拉桥常为密索体系，在给定结构体系布置与恒载分布的条件下，通过人为调整斜拉索张力以实现主梁线形、主梁应力、索塔偏位、索塔应力等结构参数指标。如何通过索力优化实现合理成桥状态与计算施工索力是斜拉桥设计与施工监控中的重要问题。在给定解空间内，斜拉索索力存在多组可行解，为求得较优索力组合，学者们进行了大量理论研究与试验分析。颜东煌等根据活载作用、预应力作用下主梁截面应力控制条件，采用应力平衡法确定了主梁恒载弯矩可行域，为斜拉桥合理成桥状态提供了确定依据；谢剑等以某独塔混合梁转体斜拉桥为例，综合利用零位移法、内力平衡法等对索力进行了优化；张峻峰等采用影响矩阵法，结合ANSYS优化模块计算了某独塔斜拉桥成桥索力；朱敏等提出一种基于多种群遗传算法的大跨度斜拉桥索力优化方法，并以南京长江三桥为例对该算法进行了验证；陈志军等基于粒子群优化算法，联合ANSYS进行独塔斜拉桥成桥索力优化，优化后主梁线形更平顺、受力更均匀。

常规索力优化方法存在费时费力、对约束条件敏感、部分结构如主梁存在弯矩不合理等问题，在某些非对称异形斜拉桥中难以满足设计要求。粒子群算法(PSO)由于其高效的寻优能力与清晰简明的算法结构，近年来在目标优化领域得到广泛应用，但其仍存在早熟收敛、搜索精度低、后期迭代效率不高及全局搜索能力与局部搜索能力不平衡等缺点。鉴于此，该文在普通粒子群算法的基础上引入自适应变异算子与非线性自适应惯性权重，提出一种基于改进粒子群算法的斜拉桥索力优化方法。

1 PSO算法

1.1 标准PSO算法

标准PSO算法是一种群体化智能算法，该算法受鸟群行为特征启发，在搜索空间Ω中搜寻D维目标，将每个个体表征为种群粒子，第i个粒子位置x={x1,x2,x3，…，xn}和速度v={v1,v2,v3，…，vn}两个特征向量，位置x表示问题的一个可能解，速度v表示粒子更新位置的基本速度，粒子在迭代中根据其所处不同位置x代入目标函数中分别计算对应的适应度值fn，以个体极值Pb表示个体最优适应度值对应的最优位置，以群体极值Gb表示群体最优适应度值对应的最优位置，经PSO算法参数初始化后，按式(1)、式(2)进行迭代，粒子通过Pb与Gb更新自身速度和位置。

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图1 标准PSO算法流程

1.2 PSO算法改进

由于斜拉桥索力往往存在多组可行解，在标准PSO算法中易陷入局部搜索陷阱，使计算不收敛或收敛速度过慢，降低索力优化效率；斜拉桥索力优化可视为多峰搜索问题，标准PSO算法在该问题上存在早熟收敛问题。而改善方法主要是增加粒子群规模，由于PSO算法计算量随粒子群规模呈指数增长，将增加硬件资源的消耗，降低索力优化效率。同时，考虑到采用PSO算法进行索力优化时进行有限元计算本身需耗费大量时间，引入自适应变异算子与非线性自适应惯性权重，在保证计算时间的前提下增加全局搜索能力，提高索力优化成功率。

1.2.1 自适应变异算子

设粒子群规模为n，fi为第i个粒子的适应度值，通过计算粒子群平均适应度值fm，可按式(3)计算粒子群适应度方差σ2。根据文献[9]，粒子群适应度方差可体现所有粒子的收敛程度，其值越小则粒子群越趋于收敛，反之则表明粒子群尚处于随机搜索阶段。

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式中：f为标准化因子，用以限制粒子群适应度方差的大小。

文献[10]提出平均聚集距离Dm与最大聚集距离Dmax，其定义分别见式(4)、式(5)。当适应度方差σ2趋近于零而平均聚集距离小于最大聚集距离时，粒子陷入局部收敛，此时需对粒子群中部分粒子进行变异，以免陷入局部搜索陷阱。

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在标准PSO算法基础上引入简单变异算子，在粒子每次更新后以一定概率重新初始化粒子，增加判定条件，当随机数r1、r2大于指定阈值时对当前粒子重新随机赋值，即：

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式中：k为指定阈值；rand(xi)表示对粒子xi位置重新随机赋值。

1.2.2 非线性自适应惯性权重

对于标准PSO算法，其惯性权重因子ω为常数，为平衡算法的全局搜索能力与局部搜索能力，需使惯性权重因子根据算法迭代过程进行自适应调整。文献[11]提出线性递减权重因子，在迭代过程中线性减小权重因子的值，可在一定程度上增强算法的搜索能力与计算效率。然而线性递减权重因子仍存在早熟收敛与求解精度不理想等缺陷，故采用非线性自适应惯性权重因子，其按下式计算：

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式中：ωs为初始惯性权重；ωe为最大迭代次数时的惯性权重；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数。

非线性自适应惯性权重因子在算法迭代早期可加速权重值的递减速度，提高全局搜索效率，在后期随着权重因子的递减可提高求解精度。

2 基于改进PSO算法的斜拉桥索力优化

采用改进PSO算法和Python编制程序，结合有限元分析软件ABAQUS进行斜拉桥索力优化，流程如下：

(1) 建立斜拉桥有限元模型，设定材料本构参数与边界约束条件进行有限元分析，按恒载平衡法初步计算索力，导出索力优化控制指标(根据实际需求可选择索塔偏位、塔底应力、控制截面应力、主梁弯矩、主梁线形等)。

(2) 构建改进PSO算法模型，对粒子初始位置与速度进行随机初始化，定义位置与速度的阈值，设定粒子群规模、最大迭代次数、加速因子。

(3) 将索力优化控制指标带入目标函数计算粒子适应度值，计算个体极值Pb与群体极值Gb。由于索力优化控制指标往往由多个量组成，可分别计算各指标的均方误差，再以各指标加权平均值作为适应度函数值，各指标权重可相等亦可根据实际需求分别指定。

(4) 按式(1)、式(2)更新粒子速度与位置，将更新后的粒子位置(即索力)带入有限元模型重新求解，导出索力优化控制指标。

(5) 重复步骤3～4，直至满足要求。

3 算例分析

3.1 工程背景

某独塔双索面组合梁斜拉桥，采用塔-梁-墩固结体系，索塔包括塔顶、钢塔、钢-混结合塔、砼塔，桥面以上索塔净高107 m，塔顶7 m为装饰钢塔，桥面以下至承台26.065 m为砼塔；辅跨45 m+40 m，为预应力砼结构；主跨158 m，为钢箱梁，设计中心线处梁高3 m；采用扇形双索面平行钢丝冷铸锚式索，每侧索面12对斜拉索，全桥共48根斜拉索，顺桥向间距为10 m(钢梁侧)和5 m(砼梁侧)，其中主跨侧斜拉索从近塔端至远塔端依次编号为m1～m12，辅跨侧斜拉索从近塔端至远塔端依次编号为b1～b12。全桥总体布置见图2。

图2 斜拉桥总体布置(单位：m)

3.2 索力优化分析

3.2.1 有限元分析与改进PSO算法参数设定

采用ABAQUS建立该桥三维有限元模型，单元类型与边界约束参考文献[12]的相关设置，其中砼采用引入减缩积分的20节点二次六面体单元(C3D20R)模拟，钢梁与钢塔采用引入减缩积分的四节点曲面壳单元(S8R)模拟，斜拉索采用多个两节点三维线性桁架单元(T3D2)模拟以体现斜拉索垂度效应，预应力束采用两节点三维线性桁架单元(T3D2)模拟，通过降温法施加索力与预应力。忽略桩基础，对墩台底部施加边界约束，斜拉索与主梁、索塔以MPC约束的方式连接，不同材料的索塔和主梁采用TIE连接。通过MODEL CHANGE实现构件的施工阶段逐步激活，在分析步初始激活重力加速度以实现随施工阶段构件逐步激活的恒载自动计算。有限元模型见图3。

图3 斜拉桥有限元模型

考虑到该桥为非对称结构，两侧拉索索力不等，将24对索作为设计变量，即x=[x1,x2,…,x24]。改进PSO算法中主要参数见表1，其中粒子速度v和位置x的阈值、种群规模n及最大迭代次数G可根据实际硬件条件进行调整。

表1 改进PSO算法主要参数取值

综合考虑优化目标与相应约束，定义适应度函数为：

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式中：ω1、ω2、ω3、ω4分别为位移权重因子、索力权重因子、主梁弯矩权重因子、塔偏权重因子，分别取0.66、0.005 1、0.29、0.16；δi为主梁节点i处的位移；xmax、xmin分别为索力最大、最小值；γi为主梁节点i处的弯矩；μ为塔顶偏位。

适应度函数值越小，说明当前粒子位置(索力)越合理。

3.2.2 优化结果

采用Python编制程序，结合ABAQUS实现基于改进PSO算法的斜拉索索力自动优化。为对比分析，采用标准PSO算法结合ABAQUS进行索力优化。二者适应度函数值随迭代次数的变化见图4。由图4可知：在算法迭代前期，标准PSO与改进PSO算法的适应度函数值相差不大，但迭代次数超过100次后二者出现差异，标准PSO算法的适应度函数值基本不再下降，而改进PSO算法由于引入变异算子及非线性自适应权重因子，跳出了局部搜索陷阱，从而获得了较优结果。

图4 改进PSO算法与标准PSO算法适应度函数值对比

优化前后斜拉索索力见图5。由图5可知：优化前最大、最小索力差值为2 210 kN，优化后为2 207 kN，二者相差甚微。优化后主跨侧m11索的索力变化最大，为4.55%；辅跨侧b9索的索力变化最大，为2.25%。优化后主跨索力除m1索外其余均略微增加，而辅跨索力均略微增加。

图5 斜拉索索力优化前后对比

优化前后斜拉桥主梁线形见图6。由图6可知：优化后主跨整体向上偏移而辅跨向下偏移，其中主跨挠度最值由-34 mm减小至-19 mm，辅跨挠度最值由-5 mm增加至-8 mm。优化后主跨竖向位移明显减小，但辅跨位移增加，总体而言，相较于优化前位移更趋近于零，且主跨与辅跨位移更趋于接近，符合斜拉桥成桥状态对主梁平顺的要求。

图6 索力优化前后主梁线形对比

优化前后斜拉桥主梁弯矩见图7。由图7可知：索力优化后辅跨主梁弯矩变化较小，这主要是由于辅跨为砼梁，其预应力作用占比较大，索力变化产生的弯矩差异占比较小；主跨主梁弯矩相较于优化前更均匀，正弯矩峰值减小，负弯矩峰值增加，弯矩最大值从29 134 kN·m减小至23 890 kN·m，同时在靠近索塔处(x趋近于零的位置)负弯矩减小，相对而言弯矩图更平顺，结构受力更优越。

图7 索力优化前后主梁弯矩对比

优化前后斜拉桥索塔偏位见图8。由图8可知：索力优化前索塔偏位呈上大下小的趋势，索力优化后该趋势得到一定改善，塔顶偏位从58 mm减小至23 mm，更符合斜拉桥成桥状态对索塔竖直的要求，索塔偏位减小也有益于降低索塔应力，使结构在运营状态中更安全可靠。

图8 索力优化前后索塔偏位对比

4 结语

在标准PSO算法上引入自适应变异算子与非线性自适应惯性权重进行改进，提出基于改进PSO算法的斜拉桥索力优化方法，并以某独塔非对称钢-混组合斜拉桥为例进行验证，得到如下结论：

(1) 自适应变异算子与非线性自适应惯性权重能有效避免标准PSO算法早熟收敛与局部搜索陷阱的问题，同时在不大幅增加计算时间的前提下提高搜索精度，粒子位置对应的适应度函数值更优，具有良好的性能。

(2) 考虑主梁线形、索力极差、主梁弯矩及塔偏的适应度函数可有效反映粒子位置优劣，基于文中适应度函数可正确对索力目标进行优化。

(3) 索力优化后其值小幅增加，主梁线形、主梁弯矩、索塔偏位相较于优化前在峰值上均有不同程度减小，且分布更均匀合理，优化方法可行。该方法也适用于双塔斜拉桥、多塔斜拉桥等的索力优化。