强连续算子半群一致指数渐近行为的平均定理

岳 田

(湖北汽车工业学院 理学院，中国 十堰 442002)

近几十年来，关于动力系统的渐近行为的研究已成为现代分析学的一个重要课题。对此问题的探讨，学者们通常借助容许性方法、离散时间方法、Datko-Pazy型方法等，在算子半群的指数稳定性理论方面取得了一系列丰硕的成果[1-17]，通过对一些重要问题的解决，使得相关基础理论的完善与应用有了快速的发展。

关于算子半群指数稳定性的研究可追溯到上世纪70年代Datko[1]的创造性工作，即Banach空间X上的强连续算子半群{T(t)}t≥0一致指数稳定(意味着其指数增长界为负)的充要条件为T(·)x的所有轨线落在L2(R+)中。在此之后相关问题获得了学界的密切关注，Pazy[2]通过一个简洁的证明指出上面Datko的结论在Lp(R+)(1≤p<∞)中仍然成立；Neerven[3]借助于Banach函数空间与Orlicz空间给出了算子半群指数稳定的存在条件；Pata、黄发伦、罗跃虎、冯德兴、朱广田、葛照强等学者[4-8]应用泛函分析和算子理论工具得到了强连续算子半群(族)指数稳定、等度指数稳定或渐进稳定的若干充要条件；Preda等在文献[10]与[11]中分别给出了单参数算子半群指数稳定的Lyapunov算子方程刻画与指数二分的Lyapunov算子不等式刻画，在文献[12]中探究了对生成元实施扰动情形下强连续算子半群保持指数稳定性质的条件；葛世刚等[14]借助广义算子半群与广义积分算子半群之间的联系，给出了广义算子半群指数稳定的Perron型条件；葛照强等[15-17]借助泛函分析相关理论对Banach空间中广义分布半群(广义发展算子)的一致指数稳定性与一致指数不稳定性作了详细探讨，给出了若干充要条件。本文将在上述文献的基础上，基于平均的视角，借助Pata引理研究Banach空间中强连续算子半群的一致指数渐近行为，分别给出其满足一致指数稳定与一致指数膨胀的若干新的刻画，从而将已有的Datko-Pazy型结论[1-5,11]在平均意义下做了推广。

1 预备知识

设(X, ‖·‖)是一个Banach空间，B(X)表示从X到自身的有界线性算子全体。记I为恒等映射，[m]表示不超过m的最大整数。

定义1[2]X上的有界线性算子族{T(t)}t≥0⊂B(X)称为强连续算子半群(或单参数强连续半群，或C0半群)，如果满足以下性质：

(i)T(0)=I；

(ii)T(t+s)=T(t)T(s),∀t,s≥0；

注1(i) 为了方便起见，后面将{T(t)}t≥0简记为T(t)；

(iii)若T(t)为强连续算子半群，则存在常数M≥1和ω≥0，使得‖T(t)‖≤Meωt(∀t≥0)。

定义2[10]强连续算子半群T(t)称为一致指数稳定，如果存在常数N,v>0使得对∀(t,x)∈R+×X有

‖T(t)x‖≤Ne-vt‖x‖。

(1)

定义3强连续算子半群T(t)称为一致指数膨胀，如果存在常数N,v>0使得对∀(t,x)∈R+×X有

‖T(t)x‖≥Nevt‖x‖。

(2)

引理1[4]强连续算子半群T(t)一致指数稳定，当且仅当存在常数h>0和c∈(0,1)，使得对每个x∈X，存在τx∈(0,h]满足

‖T(τx)x‖≤c‖x‖。

(3)

引理2强连续算子半群T(t)一致指数膨胀，当且仅当存在常数h>0和c>1，使得对每个x∈X，存在τx∈(0,h]满足

‖T(τx)x‖≥c‖x‖。

(4)

证明必要性显然，下证充分性。设x∈X，由已知条件可知存在t1:=τx∈(0,h]使得

‖T(t1)x‖≥c‖x‖成立．现令y=T(t1)x，则存在t2∈(0,h]使得

‖T(t1+t2)x‖=‖T(t2)y‖≥c‖y‖≥c2‖x‖。

记s1=t1,s2=t1+t2，则有‖T(si)x‖≥ci‖x‖(i=1,2)。以此类推，可构造一个序列(tn)n∈N+使得

‖T(sn)x‖≥cn‖x‖

(5)

cn+1‖x‖≤‖T(sn+1)x‖=‖T(sn+1-t)T(t)x‖≤Meω(sn+1-t)‖T(t)x‖≤Meωh‖T(t)x‖，

故T(t)一致指数膨胀。

2 主要结论

首先，我们给出刻画强连续算子半群T(t)一致指数稳定的3个平均定理，关于一些特殊情形，将以推论形式呈现。

(6)

则强连续算子半群T(t)一致指数稳定。

证明若T(t)不一致指数稳定，由引理1可得，对任意h>0及c∈(0,1)存在x0∈X，‖x0‖=1使得对所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖>c‖x0‖=c。从而由式(6)可得，对∀h>0有

因此，由洛必达法则可得

从而矛盾，故T(t)一致指数稳定。

定理1仅仅给出了一个T(t)一致指数稳定的充分条件，若取，则可得到一个刻画T(t)一致指数稳定的连续形式的充要条件，即推论1，这样弥补了定理1的缺陷。

推论1如果φ(t)满足定理1中的条件，则强连续算子半群T(t)是一致指数稳定的当且仅当存在常数α,β>0使得对∀x∈X有

(7)

下面借助推论1给出T(t)一致指数稳定的一个离散形式的充分条件。

推论2如果φ(t)满足定理1中的条件，且存在常数α,β,γ>0，使得对∀x∈X有

(8)

则强连续算子半群T(t)是一致指数稳定的。

证明仅需利用已知条件证明式(7)成立即可。当t>0时，有

其中γ=Meω+α，M,ω由注1给出。

(9)

证明必要性显然，令φ(t)=t(t>0)即可。

(10)

证明必要性由定理2立即可得。下证充分性。借助Hölder不等式有

注2定理2与定理3可以视作已有Datko-Pazy型结论[1-5,11]在平均意义下的推广。

下面将给出刻画强连续算子半群T(t)一致指数膨胀的两个平均定理，值得注意的是，后面所有结论均在假定T(t)为单射的前提下才能成立。

(11)

证明必要性显然，令φ(t)=t(t>0)即可。

充分性。若T(t)不一致指数膨胀，由引理2可知，对任意h>0及c>1存在x0∈X{0}使得对所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖

下面给出定理4的离散形式。

(12)

(13)

充分性。若T(t)不一致指数膨胀，由引理2可得，对任意h>0及c>1存在x0∈X使得对所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖

最后给出定理5的离散形式。

(14)