三种颜色就是三种可能吗

文|朱荣武

【问题凝视】

在四年级上册“可能性”新知识学完后的练习中，几乎所有的学生都会出现这样的错误：

问：袋子中装有1个红球、2个白球和3个黄球。从中任意摸出一个，摸出的可能结果有几种？

答：3种，红球、白球和黄球。

更有甚之，将这一问题推到成人之中，出错的人也占大多数。

袋子中球的颜色只有三种，从中任意摸出一个，为什么摸出的可能结果不是三种呢？不是三种，那该是几种呢？面对这样的错误，教师该何去何从呢？

【成因透视】

一、生活经验负迁移

生活中，颜色是区分不同事物或同类事物不同属性的常用标准，学生对此已经积累了丰富的经验并应用娴熟。比如黑色和白色是截然不同的两种颜色、绿旗和绿旗是同一种颜色的旗子；再比如“红灯停绿灯行”的规则中不同颜色代表的不同行为等。颜色不同即种类不同，这一认知学生确信无疑。因此，在上述问题情境中学生坚决认为“摸出的可能结果有3种”也在情理之中。同时，相关的学习活动也在无形中强化着学生的这一判断视角。例如（如下图），可能摸出的无外乎两种颜色的球——红球和黄球。

二、核心概念建构不准

义务教育阶段涉及的概率内容都属于古典概型，即在事件发生的结果有限且等可能的前提下，若所有可能出现的结果数为n，事件A实际发生的结果数为m，那么事件A发生的概率为。由此看定义概率必需两个关键数据——所有可能出现的结果数n和事件发生的结果数m。《数学课程标准（2011年版）》对第二学段随机现象发生的可能性虽未作“定量描述”的要求，但要求“感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性做出定性描述”。这里，描述的前提仍是清楚地知晓“事件可能出现的结果数”，但相关的教学活动却未能实现对这一核心概念的准确建构。比如例1后的“试一试”（如下图），尽管教材有意引导学生认识可能发生的结果数为“2”——“这个红球和那个红球”，但由于情境内涵不充分，因此学生仍然是通过颜色来做出判断——“因为只有一种颜色即红色，所以摸出的一定是红球”。学生虽然经历了相关活动，但始终是在数学本质的边缘游离，核心概念尚未建立。相反，这也从另一方面强化了学生依据“颜色”判断种数的负面经验。

【出路审视】

一、立足生活经验提升数学理解，修正认识偏差

“所有的学习都涉及到原有经验的迁移……用先前经验去建构理解，学生也会误解新信息……教师可以通过帮助学生使其思维可视化来纠正错误并鼓励学生超越具体问题去思考，了解问题的各种变化，改变他们的原初概念。”因此，教学中要正视和尊重这些经验，准确甄别、合理利用，恰当组织教学活动，引领学生在比较、反省、顺应、重构等活动中获得新的发展。“不同的颜色即是不同的种类，有几种颜色就有几种可能”，这些经验在学生头脑中根深蒂固、深信不疑。针对这一学情，一方面需要创造机会让学生充分释放“根据经验表达交流”的过程；另一方面要基于上位知识的数学本质引领学生看到不一样的“结局”，让认识过程和认识结果上的“矛盾”引发学生的深思，并在“有意义接受”的过程中实现从生活概念向数学概念的蜕变，最终获得数学理解——判断可能的结果种数不是根据颜色种数而是根据球的个数。有几个球，任意摸出一个球就有几种可能。

二、多层建构古典概型感悟本质，重塑认知结构

古典概型本质上是一种定义概率，是在理想化的背景下来研究的，即如果事件可能出现的结果数为n，那么每个结果的可能性的大小都是。比如，袋中有5个球，从中任意摸出1个球，摸到的必然是这5个球中的1个，每个球被摸到的可能性就是。因此不管球的颜色有几种，事件可能出现的结果数就是5，即球的个数对应的就是可能出现的结果数。鉴于学生“顽固”的生活经验干扰，怎样让学生从依据“颜色种数”确定“可能出现的结果数”转变到依据“物体个数”来确定“可能出现的结果数”，并认同其合理性进而接纳这一“标准”便成为教学活动的关键。教学中可以采用由简到繁的策略导引可视化思维，先研究简单的“单色”古典概型，再研究稍复杂的“多色”古典概型，让学生在多层次的判断、表达、比较和抽象等思维活动中逐步突破“颜色干扰”，感悟古典概型的本质，掌握确定“事件可能出现的结果数”的方法，在“顺应”的思维活动中形成新的认知结构。

【片断重构】

片断一：单色古典概型

1.激活经验，暴露真实思维。

教师呈现装有2个大小一样的红球的袋子，问：从中任意摸出一个球，可能摸出什么球？

生：摸出的一定是红球。因为袋子中的球全是红球。

生：是的。虽然袋子中有2个球，但都是红颜色的，所以无论摸出哪个球都是红球。

师：那你们觉得从袋子中任意摸出一个球，可能摸出的结果有几种？

生：1种，红球。

2.逼近本质，引发思维碰撞。

教师将袋中的2个红球分别呈现出编号后，问：这两个球和刚才的球比，有什么变化？

生：刚才的2个球没有编号，现在2个球都有了编号。

生：球还是原来的那2个球，就是多了编号。

师：是的。这里球的颜色、大小等都没变，就是多了编号，就好比每个球都有了自己的名字，这样就好区分这两个球了，分别是1号球、2号球。咦！现在从中任意摸出一个球，可能摸出的结果有几种？

生：还是1种，红球。

生：也可以说是2种。

师：现在出现了不同意见。同学们都来猜一猜：这位同学认为也可以说是2种，他可能是怎样想的呢？

生：他是想可能摸出1号球，也可能摸出2号球，所以是2种。

生：我不同意！无论是摸出哪号球，都是红球，结果还是1种。

生：我觉得从颜色上来看的话，是1种可能。但实际摸的话，可能摸到1号红球，也可能摸到2号红球……

师：大家说的好像都有道理，究竟可能摸出的结果有几种呢？

（学生开始议论纷纷，但还是拿不定主意）

师：虽然这两个球颜色大小都相同，但它们还是有区别的两个球。任意摸出一个的话，可能是1号红球，也可能是2号红球，所以在数学上我们认为这时可能摸出的结果有2种。这时要从个数上来判断而不是从颜色上来判断。

片断二：多色古典概型

1.迁移说理。

教师呈现装有1个白球、2个黄球、3个红球的袋子，6个球上分别随机写有①~⑥六个编号。问：从中任意摸出一个球，可能摸出的是几号球？有几种可能的结果？写一写。

生：有6种可能的结果，因为从1号球到6号球，每一号球都有可能被摸到。

师：现在将这些编号去掉。还是从中任意摸出一个球，有几种可能的结果？

生：还是6种，因为6个球中每一个球都有可能被摸到。

师：为什么不是3种呢？

生：因为虽然是3种颜色，但一共有6个球，就应该是有6种可能。

生：同一种颜色的球有几个算几个。比如2个黄球虽然颜色相同，但还是有区别的2个球。

2.类比归纳。

（1）教师将袋子中的6个球分别变为白、黄、红、蓝、绿五种颜色和白、黄、红、蓝、绿、紫六种颜色，问：从中任意摸出一个球，有几种可能的结果？

生：都是6种。因为虽然颜色的数量变了，但球的总个数没变。

（2）教师呈现装有2红、2绿、3蓝7支铅笔的袋子，问：任意摸出一支，有几种可能的结果？

生：7种。7支铅笔每一支都有可能被摸到。

（3）教师呈现红桃A、红桃2、红桃3、黑桃4四张牌，然后背面朝上打乱次序。问：从中任意摸出一张，有几种可能的结果？

生：4种，分别是红桃A、红桃2、红桃3、黑桃4。

3.抽象概括。

师：通过以上的学习，你有什么发现吗？

生：有几个物体，任意摸出一个就有几种可能。

生：判断可能摸出的种数不能看颜色，因为颜色和大小都相同的物体还是有区别的不同物体。

本例中，学生出错的根本原因在于其以颜色作为分类标准的先前经验和对概率知识的未知。但细思之，学生此时已经具有了关于概率的直观经验和直觉感受，其对相关结果的判断正是基于这种直觉和经验进行理解、建构的“正常行为”,只不过这种直觉、经验在当下有悖于数学知识现实而已。事实上，在学生漫长的数学学习历程中，类似的“用先前经验去建构理解而误解新信息”的“正常行为”很多，比如学生根据乘法分配律模型“（a+b）×c=a×c+b×c”发现“（a+b）÷c=a÷c+b÷c”是对的，于是认为：因为“a×（b+c）=a×b+a×c”所以“a÷(b+c)=a÷b+a÷c”等。作为教师，一定要尊重和保护学生这种纯真大胆的建构行为，并据此展开深度溯源，透视本质，寻求解决问题的出路，创造条件让学生在深度理解的基础上实现对已有经验的改造和已有认知结构的重塑，在基于先前经验的文化实践过程中获得知识、观念、思想方法等全方位的熏陶。当然对教师而言，上例带来的启示是教师仍需要再学习，以弥补上位知识的缺失。