谨防静摩擦因数足够大的一个“陷阱”

郑 金

(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

对于两个固体的接触面，动摩擦因数是有限值，当相互作用的弹力很小时，摩擦力不可能很大；当相互作用的弹力为零时，不可能存在摩擦力.但在某些力学竞赛题中给出“静摩擦因数足够大”的条件，由此默认为静摩擦力足够大，而且物体始终不滑动[1].这种观点是不正确的，下面对一道错题及其解答进行探讨.

1 原题与错解

【原题】在水平地面上，竖直直立一根长为2a,质量为m的匀质直杆，杆与地面间的静摩擦因数足够大.现对杆施一微扰，使其从竖直位置开始自由倒下，如图1所示，求：当杆与竖直方向的夹角为多大时，杆的下端开始脱离地面？

图1 倾倒的直杆

原解：从初始状态到杆恰好离地瞬间，由机械能守恒定律有

(1)

其中直杆绕端点转动时的转动惯量为

(2)

以直杆与地面接触点为轴，由转动定理有

mgasinθ=Iβ

(3)

由式(1)、(2)可得直杆的角速度平方为

(4)

由式(2)、(3)可得杆转动的角加速度为

(5)

直杆质心绕接触点转动的切向加速度和法向加速度分别为

(6)

(7)

刚好离开地面的瞬间，杆在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律有

mg=matsinθ+mancosθ

(8)

可得直杆与竖直方向的夹角为

2 探讨与修正

上述解法看似正确，但所得结果却是错误的.因为在推导过程中，默认为杆始终不滑动，而实际上，当θ=70.53°时，杆早已发生滑动，因此原题有缺陷.为了修正错题和错解，下面对原题进行拓展与解答.

解析：(1)对杆在水平方向和竖直方向分别由质心运动定理有

f=matcosθ-mansinθ

mg-N=matsinθ+mancosθ

可得杆受到地面的静摩擦力与弹力分别为

随着偏转角θ从零开始增大，cosθ从最大值1开始逐渐减小，可知地面弹力N单调递减，最大值等于mg,最小值为零.假设杆的下端始终不动，当刚好离开地面时，受到弹力为零，即

刚开始，由于直杆没有相对滑动趋势，因此摩擦力为零，随着偏转角的逐渐增大，摩擦力再次为零，由此可知，在两个零之间存在最大值，则静摩擦力先增大，再减小到零.当静摩擦力减小到零时，杆对地面的压力大于零，因此不是分离状态，而是摩擦力改变方向的临界状态.在临界状态之前，杆受到地面的摩擦力方向向右，在临界状态之后，杆受到摩擦力的方向向左，然后逐渐增大.

下面求向右的静摩擦力取最大值时杆的偏转角.

先把静摩擦力的关系式去括号，再取导数为

令f′=0，可得关于cosθ的一元二次方程

6cos2θ-2cosθ-3=0

解方程得

可知杆的偏转角略小于30°，且fmax≈0.2mg.

图2 弹力和摩擦力随偏转角变化的图像

(2)由于静摩擦因数足够大，因此在静摩擦力减小到零之前，杆没有发生滑动，则由

可知当摩擦力减小为零时杆的偏转角为θ=48.19°.

此时杆受到地面的弹力大小为

(3)当杆的偏转角小于48.19°时，杆没有发生滑动，那么当杆的偏转角大于48.19°时，由于压力逐渐减小，杆将发生滑动，考虑到摩擦力小于零，可知当杆刚好发生滑动时，满足-f=μN，即

化简得

3sinθ(2-3cosθ)=μ(3cosθ-1)2

θ≠70.53°

如图2所示，当杆与竖直方向的夹角大于48.19°时，随着正压力的减小，当反向摩擦力达到某一数值-f′max时，杆将发生滑动.在假设杆始终不滑动的条件下，当杆刚要离开地面时，与竖直方向的夹角为θ=70.53°，此时正压力趋于零，静摩擦力达到另一个最大值-f″max，但这是不可能实现的，因为在偏转角达到70.53°之前，杆早已发生滑动了，因此当杆刚要离开地面时，与竖直方向的夹角不等于70.53°.

秀容月明告退，一直低眉顺眼站在旁边的内侍走了过来，皇上，秀容月明这只老虎好不容易被关进笼子里，现在你放他出来，就怕放虎容易捉虎难啊！

假设把原题作为竞赛题，那么对于“静摩擦因数足够大”的条件，参赛者将如何理解呢？如果认为杆始终不会滑动，虽然不切合实际，但却可以顺利解题；如果认为杆将会发生滑动，虽然合乎实际，但却难以解题，那么只能跳入题中默认的“陷阱”，即认为：只要静摩擦因数足够大，当正压力不为零时，静摩擦力就足够大；或者说，只要静摩擦因数足够大，物体就始终不发生滑动.这种观点显然是错误的，但却有一定的迷惑性，因此很容易诱发错题与错解的出现.

综上可见，原题的设问与条件不自洽，需进行修正，有多种修改方法，既可改变条件，如把原题中的“杆与地面间的静摩擦因数足够大”替换为“杆下端放入浅槽内不能滑动”；也可改变设问，把原题中的1个设问替换为新拓展的3个设问.此外，杆的长度2a可改为2b，以免在解题时用到的字母与加速度符号雷同.

3 总结与启示

通过对原题进行修正或改编，可形成若干优质试题，具有一定的教学价值，既可作为大学物理复习资料，也可用于高中物理竞赛训练.

虽然原题及其解答的错误起因于“静摩擦因数足够大”，但这个条件本身没有错，从修改原题设问的角度而言，在原题中给出这个条件是必要的，以此表明在静摩擦力从最大值减小为零之前，杆不会发生滑动，为试题的改编与解答准备了条件.但若根据这个条件默认为杆始终不发生滑动则是错误的，或者说，对于如何保证杆始终不发生滑动，题中所设定的条件不合乎实际，由此导致试题的设问与条件不自洽.

因此在编拟试题时，不仅要体现试题的基础性、综合性、应用性和创新性，更要遵循科学性与自洽性的原则，这就需要在编题过程中对试题的背景、情境、赋值、条件和设问等方面进行反复推敲和严格论证，确保其规范合理，严谨周密，不存在科学性错误.

在教学或者教研过程中，无论选题或答题都需谨慎，以免出现错题或错解.还要提倡学术争鸣，敢于质疑，善于发现并且及时纠正错误，对于那些比较隐蔽的、或者是勉强默认的、甚至是广为流传的错误，有必要进行深入剖析，以正本清源.若能充分利用错题资源，变废为宝，将有助于对相关知识的确切理解和正确应用，更有利于提升学科核心素养.