直杆与圆环组合体落地反弹问题的解法探讨

(辽宁省凌源市职教中心，辽宁 朝阳 122500)

图1

有关竖直方向的直杆与圆环的组合体落到水平地面被反弹后两个物体发生相对运动的问题(如图1)，曾以竞赛题和高考题的形式出现。对于这类恒力作用下的两个物体的相对运动问题的解答，关键是判断两个物体能否达到共同速度。

通过分析两个物体受力情况可知：当二者落到水平地面被反弹后，直杆先向上做匀减速运动，再向下做匀加速运动；而圆环一直向下运动，包括三种运动形式：匀减速运动、匀加速运动和匀速运动。为了判断两个物体能否达到共同速度，最简单的方法是通过观察两个物体的速度图像是否存在交点，由此归纳出滑动摩擦力与重力大小关系的三种不同情况，判断对应的运动形式以及是否达到同速。

可用速度图像来直观地说明。两个物体的初速度大小相等，方向相反。若以竖直向下为正方向，则直杆的速度先为负值，后为正值，而圆环的速度始终为正值。在直杆从第一次触地到第二次触地的过程中，由于所受滑动摩擦力的方向不变，直杆向上运动时的加速度与开始向下运动时的加速度相等，由于直杆受到两个作用力的方向相同，圆环受到两个作用力的方向相反，因此圆环的加速度小于直杆的加速度。如果摩擦力大于重力，那么圆环做匀减速运动，其速度图像与直杆的速度图像必有交点，画出的速度图像如图2所示。由交点的位置可知在直杆触地之前二者必达到共同速度，而且直杆每次触地时的速度逐渐减小。如果摩擦力小于重力，则圆环做匀加速运动，其速度图像与直杆的速度图像没有交点，画出速度图像如图3所示，两个物体不可能达到共同速度，可知二者始终受到摩擦力的作用，则直杆的往返运动类似于竖直上抛运动，因此直杆每次触地时的速度大小都与初速度大小相等。如果摩擦力与重力大小相等，则在相对运动过程中圆环始终做匀速运动，其速度图像为水平直线，而直杆的往返运动类似于竖直上抛运动。

图2

图3

还可利用假设法来判断三种速度情形对应的恒力的大小关系。假设直杆在第二次触地时与圆环达到同速，则直杆一直受到摩擦力的作用，由于往返运动的总位移为零，因此直杆在第二次触地时的速度与初速度大小相等，那么此时圆环的速度与初速度相等，表明圆环一直做匀速运动，可知摩擦力与重力大小相等。假设直杆在第二次触地之前与圆环达到同速，则该速度小于直杆的初速度，那么此时圆环的速度小于初速度，表明圆环一直做匀减速运动，可知摩擦力大于重力。假设直杆在第二次触地时二者还未达到同速，则此时圆环的速度大于初速度，可知摩擦力小于重力。

总之，根据相互作用的摩擦力与重力的大小关系，可分为三种情形：其一是摩擦力大于重力，那么在相对运动过程中，圆环先做匀减速运动，而直杆被反弹后先向上做匀减速运动，后向下做匀加速运动，在直杆触地之前二者达到共同速度，一起做匀加速运动。其二是摩擦力小于重力，那么圆环一直做匀加速运动，而直杆先向上做匀减速运动，后向下做匀加速运动，二者不可能达到共同速度。其三是摩擦力与重力大小相等，那么圆环一直做匀速运动，在直杆触地瞬时二者达到共同速度。

在解答有关直杆与圆环组合体的落地反弹问题时，首先要根据摩擦力与重力的大小关系来确定两个物体的运动过程及形式，然后应用相关的物理规律进行解答，下面按两种情形进行举例分析。

1 摩擦力大于重力

在摩擦力大于重力的情况下，在直杆每次触地后，两个物体在相对运动的过程中必达到共同速度，此时摩擦力消失，然后一起做匀加速运动。

例1：如图1所示，一个圆环A套在一根长度为L均匀圆柱形木棒B的上端，环和棒的质量都为m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为1.5mg。开始时棒的下端离地面高度为H(L>2H)，二者由静止开始自由下落，棒与水平地面发生碰撞，设碰撞时间极短，且无机械能损失，空气阻力忽略不计，棒始终保持竖直。求：

(2) 在木棒第二次触地前，要使圆环不脱离木棒，木棒至少为多长？

(3) 若摩擦力大小为f=kmg(k>1)，在木棒从第一次触地后到第n次触地的过程中圆环运动的位移为多少？木棒运动的路程为多少？

基于图3所示概率图，在基于波束成形的一对一无线充电过程中，情况1-情况4发生的概率可分别用pc1、pc2、pc3、pc4表示：

点评：解题关键是直接利用了一个结论，即在摩擦力大于重力的条件下，直杆与圆环的组合体在每次下落反弹后的相对运动过程中必达到共同速度。还利用了多种方法求解，如利用相对加速度法和运动学公式求解圆环的相对位移，利用整体法和能量守恒定律或动能定理列方程求解木棒触地时的速度，利用归纳法、等比数列求和公式求解圆环的相对位移和木棒运动的路程。

2 摩擦力小于重力

在摩擦力小于重力的情况下，两个物体在相对运动过程中不可能达到共同速度，因此摩擦力不可能消失，那么直杆的运动类似于竖直上抛运动。

例2：如图1所示，一个圆环A套在一根均匀的圆柱形直杆B上，环和杆的质量都为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为0.5mg。开始时杆的下端离地面高度为H，二者由静止开始自由下落，杆与地面发生碰撞，设碰撞时间极短，无机械能损失，空气阻力忽略不计，而且杆始终保持竖直。若杆第一次触地到第四次触地前圆环不脱离杆，求：

(1) 直杆的长度至少为多大？

(2) 在直杆第四次触地时圆环的速度为多大？

(3) 在直杆第一次触地到第四次触地的过程中，系统损失的机械能为多少？

点评：解题关键是判断圆环一直做匀加速运动以及直杆的往返运动

类似于竖直上抛运动，该运动过程所对应的两个状态都是直杆触地，因此圆环的位移与其在直杆上的相对位移相等。

总之，对于在竖直方向的直杆与圆环的组合体落地反弹问题的解答，首先要明确圆环受到的摩擦力与重力的大小关系，然后分析两个物体的运动形式和运动过程以及能否达到共同速度。