浅谈矩阵初等变换的应用

黄文蝶

摘要：矩阵的初等变换是线性代数中一个十分重要的计算工具。本文主要利用矩阵的初等变换求解线性方程组、矩阵方程、向量组的线性相关性和化二次型为标准型。

关键词：矩阵;初等变换;线性方程组;矩阵方程;标准型

矩阵的初等变换与线性方程组的求解过程密不可分，不仅给求解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了线性代数的矩阵理论。在线性代数中，矩阵的初等变换方法更是贯穿始终。本文主要介绍矩阵初等变换在线性代数中的一些简单应用。

1、 求解线性方程组

对于求解齐次线性方程组Ax=0，我们可以对其系数矩阵A进行初等行变换，把系数矩阵A变为行最简型。会得到两种情况：如果系数矩阵的秩等于未知数个數，有唯一解;如果系数矩阵的秩小于未知数个数，有无数解，可以写出通解。对于求解非齐次线性方程组Ax=b，我们可以通过初等行变换把增广矩阵（a…b）变为行最简型。会得到以下三种情况：如果系数矩阵和增广矩阵两者的秩是不相等的，那么这个方程组无解;如果系数矩阵和增广矩阵两者的秩是相等且等于未知数个数，有唯一解;如果系数矩阵和增广矩阵两者的秩是相等且小于未知数个数，有无数个解，可以写出通解。

2、 求解矩阵方程

设矩阵A可逆，则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵X=A-1B。为此，可采用类似初行变换求矩阵的逆的方法，对矩阵（A，B）其施以初等行变换将矩阵A化为单位矩阵E，则上述初等行变换同时也将矩阵B化为A-1B，即

本文主要讨论了利用矩阵的初等变换解决线性代数的一些问题。可以发现用矩阵的初等变换比用定义法更直观、更简洁，可以在一定程度上简化运算。矩阵的初等变换的应用不仅仅是这些， 还可以应用于很多方面，例如：矩阵的逆、向量组的最大无关组、基之间的过渡矩阵、向量在基下的坐标、方阵的特征向量等，也是非常常见且最有效果的方法。

参考文献：

[1]同济大学数学系.线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2]钱吉林.高等代数解题精粹（第三版）[M].西安：西北工业大学出版社.2019.