转化与化归：发展数学思维能力的引擎

梁徐燕

摘  要：转化与化归是一种非常重要的数学思想，需要学生通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法对原问题进行变换，将其转化为熟悉的新问题进行论证和解答。这在高中数学教学及解题中具有普遍应用，对于发展学生的数学思维能力作用显著。

关键字：高中数学;转化;化归

化归是转化与归结的总称，体现的是由繁化简，由复杂化简单的数学思想与策略。因此，本文以培养学生的数学转化与化归思想为基本出发点，并主要围绕构造法、类比法、补集法这几个具体方法展开论证，使学生在解题中体验建构模型、猜测推理与反向解题的转化与化归的思维活动过程，以此来引导学生有序思考，深化学生的数学思维。

一、构造法，建构模型

构造法是高中数学解题中一种常用的数学方法，其中就蕴含着转化与化归的数学思想。简单来说建构数学模型需要学生对问题进行深刻反思与推理，从中抽象出自己存储于头脑中的数学模型，化未知为已知，化抽象为具体，使问题变得直观、形象，为实现高效简便解题创造良好条件。

例如，对于最值类问题而言，当涉及“一个变量取什么值时另一个变量取得最大值或最小值”的問题时，教师要引导学生建立起求解最值型应用题的思维模型，引导学生积极思考，将其转化为函数问题进行求解。以三角函数类问题来说：求函数y=（+sinx）/（1+cosx）的最小值，一方面可以利用三角恒等变化将其转化为最简的正弦型函数的形式，根据正弦函数的基本性质得出值域的范围，确定最小值，这是同学们的常规做法。但这道题还有一个巧妙解法，就是善于应用函数的几何意义，将其构造为y=[sinx-（-）]/[cosx-（-1）]，这就转化成了圆x2+y2=1上的任一点B与定点A（-1，-）的连线斜率，问题就变得更加直观。显而易见当连线AB是圆的切线时，斜率最小，这时候ymin=tan30°=/3，大大节省了解题时间。

也就是说，要想在数学解题的过程中应用好构造法这一思维模型，离不开学生完善的数学知识结构与良好的模型存储积累。只有在厘清知识内在联系、把握知识结构的前提下，学生才能对问题进行概括性的、简化性的描述与刻画，抽象出问题的本质特征，利用数学模型解决问题。

二、类比法，猜测推理

转化与化归思想需遵循的一个基本原则就是熟悉化原则，要求学生能够对陌生的问题进行，运用熟知的知识、经验来解决未知问题。在这个过程中就需要学生应用到类比法，借助认真细微的观察、猜测、类比与推理来实施有效的转化与化归，保证逻辑上的正确与完整性，实现问题的等价转化。

例如，在教学数列的相关知识时，学生是先学完等差数列再去学习等比数列，那么在学习等比数列的很多结论时，教师就可以引导学生应用类比法进行推理和总结。以通项公式来讲，我们是列出几组等差数列，让学生观察数字间的特性，总结等差数列通项公式的公式。那么在学习等比数列通项公式的时候，教师可以让学生以小组为单位，类比等差数列的推理方法，独立完成和得出等比数列的通项公式。有了等差数列的学习经验，学生很容易借助类比法，抓住首项与公比这两个要素，总结出了等比数列通项公式，教学非常成功。

类比法寻找的是两种事物在某些特征上的相似性，我们可以用“由此及彼”来形容它，在先比后推的过程中，学生会经历观察、猜测、推理与反思等一系列的思维活动过程，并最终对问题进行转化，找到解决问题的切入点，求得原问题的解。

三、补集法，反向解题

补集是一个数学名词，指全集中不属于某一子集的所有元素组成的集合。这和转化与化归思想中的正难则反原则是相吻合的。当从问题正向出发找不到解题切入点的时候，教师不妨引导学生反其向而行之，转向问题的反面，通过全集减去对立事件来得到所求的事件，以此来利用逆向思维实现简便解题，提升解题效率。

例如，补集法在高中数学概率与统计相关的题型中的应用较为普遍。以一道概率题为例：甲乙两名射击运动员分别对一个目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人中恰有1人射中目标的概率;

（2）2人中至少有1人射中目标的概率。

那么在解答这道题的时候，我们设“甲射击1次击中目标”为事件A，“乙射击1次击中目标”为事件B，事件A与B是相互独立的。那么第（1）问中2人中恰有1人射中的概率为 P（AB）+P（AB）=0.8×（1-0.9）+（1-0.8）×0.9，运算求得结果，难度不大。但在解答第（2）问的时候，如果我们继续从正向思考问题，则包含的情况包括2人都中、2人中有1人不中的多个情况，较为复杂。这时候我们就可以利用互斥远离，借助补集法，至少有1人射中的概率等于1减去2人都没有击中的概率，即 P=1-P（A·B）=1-（1-0.8）（1-0.9）=0.98，使问题得到了简便解答。

由此可见，通过在解题训练的过程中引导学生应用构造法、类比法与补集法这些具体的解题模型，可以更好地帮助学生掌握数学知识结构与思维方式。因此，除了文中提到的这几个方法以外，教师还要在具体的教学实践中不断探索与总结转化与化归思想方法的更多应用模式与教学策略，引导学生真正学会通过矛盾转化解决问题，发展学生的数学思维。

总而言之，转化与化归思想方法在数学教学中的重要性不言而喻，但我们的目的不仅是帮助学生掌握高效解题的思维模型，更重要的是要促进学生的解题能力、学习能力及创造能力的提升，在此基础之上对思维的广度和深度进行综合训练，以发展学生的思维潜能，提升学生的思维品质，真正指向学生的高中数学核心素养的培养与塑造。

参考文献：

[1]刘其武.数学智慧课堂的构建[J].教学与管理，2020（13）：60-62.

[2]程伟，程友娟.新高考背景下普通高中课程改革的问题与对策[J].教学与管理，2020（07）：1-4.