含Cn-1图关于Wiener指数、Harary指数、hyper-Wiener指数的充分条件

梅培林，蔡改香

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

设G=(V,E)为n阶简单图，其顶点集为V(G)={v1,v2,v3,…,vn}。边集E=E(G)为V的二元重集构成的集合，称E中元素{u,v}(u≠v)为G的边，边{u,v}记为uv。图G顶点v的度记为d G(v)，指G中与v关联的边数，若每个顶点的度为n-1，则称图G为完全图，记作Kn，G的最小度记作δ。G中vi到vj的最短路的长度定义为vi与vj之间的距离，记为d G(vi,vj)。如果图G=(V,E)的顶点集V可以被划分为互不相交的子集X和Y，使得V=X⋃Y且任意边e={ }u,v满足u∈X，v∈Y或u∈Y，v∈X，则称G为二部图，记作G=(X,Y;E)。若 ||X= ||Y，则称G为平衡二部图，若 ||X=p，||Y=q，则称G为完全二部图，记作Kp,q。定义Λ为2个孤立点分别与Kn-2中的两个顶点相连所构成的图。如果图G的一条路（一个圈）经过所有的顶点，那么称之为哈密顿路（哈密顿圈）。如果G有哈密顿路（哈密顿圈），则称G是可迹图（哈密顿图）。若任意2个顶点都能由一条哈密顿路相连，则称G是哈密顿连通的。一个圈经过的顶点数，就是该圈的长度。

连通图G的Wiener指数是与分子化合物的物理性质、化学性质相关性很高的拓扑指数[1]，定义为

图G的hyper-Wiener指数是Wiener指数的推广[2]，Klein等将hyper-Wiener指数的定义延伸到了所有的连通图中[3]。图G的hyper-Wiener指数定义为

图G的Harary指数是化学图论中非常重要的拓扑指数，由Plavchecksic和Ivanciuc等在1993年提出[4-5]，连通图G的Harary指数定义为

拓扑指数在图论中有很多应用，任丽芳等在文献[6]中给出了Wiener指数、Harary指数与哈密顿性的一些结论，胡启明等在文献[7]中利用Wiener指数、Harary指数和hyper-Wiener指数给出了泛圈图的一些充分条件。考虑到拓扑指数在圈长中也有应用，受文献[8]启发，本文利用Wiener指数、hyper-Wiener指数和Harary指数给出图包含一个Cn-1的充分条件。

1 相关引理

2 主要结论

的圈，除非G⊆K1∨(Kn-3+K2)或者G⊆Λ。

3 总结

通过研究文献[8]中关于图包含长度为n-1圈的结论，结合文献[7]中运用拓扑指数来讨论泛圈图的性质，本文利用Wiener指数、Harary指数和hyper-Wiener指数分别给出了n阶简单图，n阶2-连通图包含长度为n-1的圈的充分条件。另外，圈长与围长跟拓扑指数联系紧密，这是我们今后研究工作的重点。