基于模态分析法的电磁轨道身管紧固仿真优化

李腾达 冯刚 连仲谋

摘 要： 为进一步提升电磁轨道发射器身管紧固的减振优化效果， 采用模态分析法仿真确定紧固点的选取。 在将电磁轨道发射器简化为伯努利-欧拉梁的基础上， 进行振动响应分析和模态分析， 通过建立发射器的有限元模型， 模拟发射全过程， 并依据临界速度时刻的系统刚度进行模态叠加， 确定优化紧固位置并提出评估指标来评判优化效果。 仿真实验表明， 添加紧固能够有效提高发射器的刚度， 且紧固的减振效果受到紧固位置的振动特性影响; 紧固的位置选择应尽量避开临界速度的共振范围， 在满足需求的前提下优先设置位于临界速度到达位置之前; 添加紧固导致轨道邻近部位出现应力集中现象， 提高了轨道强度要求。

关键词：电磁发射; 轨道; 减振优化; 模态分析; 有限元仿真

中图分类号：TJ866    文献标识码：    A   文章编号：1673-5048（2021）04-0069-07

0 引  言

电磁发射技术是一项利用电磁力推进负载达到高速的新概念武器技术[1-4]。 在电磁轨道发射器发射过程中， 当电枢速度达到临界速度时会产生共振， 导致轨道的剧烈振动与挠度变形[5-7]。 由于电磁冲击力的存在， 轨道的剧烈振动与挠度变形必然会导致轨道的刨削损伤， 影响轨道发射的稳定性与使用寿命[8-9]。 因此在实际应用中， 会对发射器身管施加预紧力以提升结构刚度， 达到减振目的[10]。 针对电磁轨道发射器的振动特性与减振問题， 国内外众多学者纷纷展开了深入研究。 吴立周等[11]对螺栓紧固封装进行耦合仿真， 对不同螺栓预紧力下的发射器口径形变进行了计算， 但忽略了多种影响因素， 如枢轨过盈配合、 速度趋肤效应等; 张永胜等[12]分析了连续发射过程中轨道各成分力的时空分布特性， 但针对轨道振动问题并未提出相应的解决方案; 王振春等[13]提出了通过施加液压伺服预紧来平衡轨道的振动， 但预紧位置设置时未考虑到轨道瞬态振动响应的影响; 文献[14]分析了电磁力作用下电枢对轨道的挤压力和轨道的变形情况; 文献[15]指出了轨道间的阻尼效应能够对临界速度下的轨道挠度变形起到缓解作用; 文献[16]分析了不同结构刚度和预紧力情况下的轨道振动特性。 这些工作都没有基于轨道完整瞬态发射过程中的应力载荷空间分布特性进行分析， 势必会降低研究的计算精度。

本文对电磁轨道发射器完整瞬态发射过程进行了仿真， 依据临界速度时刻的系统度进行模态叠加分析， 确定了身管紧固的优化位置并提出相应的评价指标。 最后， 对不同紧固位置的优化效果进行对比分析， 提出进一步的身管紧固减振优化方向。

1 轨道动力学分析

1.1 轨道动力学方程

电磁轨道发射器的基础结构如图1所示， 其中外围封装用于抵消轨道扩张力以维持炮口基本形状， 弹性支撑用于辅助外围封装抵抗轨道变形。

为便于进行动力学理论分析， 将发射器轨道简化为伯努利-欧拉梁， 如图2所示。 轨道的动力学方程为

EI4yx4+m2yt2+ky=F（x， t）（1）

式中： E为轨道材料的弹性模量; I为轨道截面的惯性矩; m为轨道线密度， m=ρA， ρ为轨道材料密度， A为轨道截面积; k为弹性支撑刚度;   F（x，  t）为移动载荷：

F（x，  t）=q（x，  t）[1-H（x-vt）]+f（x，  t）δ（x-vt）（2）

式中： q（x，  t）为轨道间的电磁排斥力; f（x，  t）为电枢对轨道的挤压力; H为Heviside阶跃函数; δ为Dirac脉冲函数。

考虑实际发射过程中的电流趋肤效应， 轨道发射装置工作原理如图3所示。

为简化计算， 假设电流主要集中在趋肤深度中心线位置， 在t时刻， 轨道1中AB段电流在轨道2上任意点p（x1，  -（h+δr）/2）的磁感应强度为

B（x）=μ0i（t）4π[h+δr]1+l-x（l-x1）2+（h+δr）2（3）

则

q（x，  t）=B（x）i（t）（4）

式中： i（t）和δr分别为电流大小和趋肤深度; l， h分别为电枢运动距离和两轨道间距离; μ0为真空磁导率。

基于弹性力学分析可得， Bernoulli-Euler梁在移动载荷作用下， 当载荷速度接近临界速度时， 会引起枢轨共振， 导致轨道应力集中急剧增大。 临界速度表达式为

vcr=44EIkm2（5）

1.2 轨道的固有频率与振型

对轨道的固有特性进行分析， 令式（1）中F（x，   t）=0。 其次， 根据分离变量法， 令y（x，   t）=X（x）T（t）， 代入式（1）可得

T¨（t）T（t）=-EIX（4）（x）+kX（x）mX（x）=-ω2（6）

将式（6）分解为两个独立的常微分方程：

T¨（t）+ω2T（t）=0EIX（4）（x）+kX（x）+ω2mX（x）=0 （7）

求解式（7）可得

T（t）=b1cos（ωt）+b2sin（ωt）X（x）=c1cos（βx）+c2sin（βx）+   c3cosh（βx）+c4sinh（βx） （8）

式中： β=4ω2m-kEI; b1， b2， c1， c2， c3， c4均为待定常数。

由于轨道两端固定， 则有

X（0）=0， X¨（0）=0X（l）=0，  X¨（l）=0 （9）

可得系统各阶固有频率为

ωn=（nπ）4EI+kl4ml4 （n=1， 2，  3， …）（10）

相应的固有振型函数为

Xn（x）=sinnπxl（11）

则可将yn（x，  t）表示为

yn（x，  t）=Xn（x）Tn（t）=sinnπxl·（b1ncos（ωnt）+b2nsin（ωnt））（12）

式中： b1n， b2n由初始条件确定。

由于振型函数的正交性， 可将系统位移以振型函数的级数形式表示为

y（x，  t）=∑nXn（x）Tn（t）=∑nsinnπxl·

（b1ncos（ωnt）+b2nsin（ωnt））（13）

1.3 轨道振动的模态分析

模态分析是对模型系统进行动力学分析的方法之一， 研究其振动频率和振动形式。 对于一个多自由度系统， 其无阻尼振动方程为

My¨+Ky=0（14）

式中： M为结构的质量矩阵; K为结构的刚度矩阵; y¨为加速度矢量; y为位移矢量， 可表示为

y=φsin（ωt）（15）

式中： φ为模态向量; ω为角频率。

将式（15）代入式（14）， 相应的特征方程为

（K-ω2M）φ=0（16）

式中： φ为非零解， 且满足系数矩阵行列式为0， 即

det（K-ω2M）=0（17）

令λ=ω2， 则有

det（K-λM）=0（18）

于是， λ的一组特征值可表示为

det（K-λiM）φi=0 （i=1， 2， 3， …，  N）（19）

式中： λi为第i个特征值; φi为第i个模态向量。

在有限元分析中， 刚度矩阵K与质量矩阵M均为实对称矩阵， 且满足正交性， 则有

φTiMφj=0，  mi，   i≠ji=j（20）

φTiKφj=0，  ki，   i≠ji=j（21）

式中： mi为总质量; ki为广义刚度。

2 有限元模型的建立

电磁轨道发射器身管主要由轨道、 绝缘体、 外围封装板、 螺栓预紧件等组成。 图4～5分别为电磁轨道发射器身管模型和电枢模型。

发射器轨道几何参数为1 000 mm×30 mm×10 mm， 电枢和轨道的材料参数如表1所示， 则轨道的截面惯性矩k为2.5×10-9  m4， 轨道线密度m为2.67 kg/m， 弹性支撑刚度k为2.532×1010 N/m， 可由基础刚度k0与支撑面面积的乘积求得。  根据式（5）可得， 轨道的临界速度为1 448.66 m/s。

为了对电磁轨道发射器的身管紧固进行优化， 在有限元软件中采用预应力模态分析法， 先进行非线性力学分析， 得到某一关注时刻的系统刚度， 再基于此刚度进行模态分析。 对于电磁轨道发射器这一大型复杂系统， 在电枢达到临界速度时引起共振， 导致轨道剧烈振动， 是实际工程中需要重点关注的时刻。

根据上述参数设置， 基于LS-DYNA对电磁轨道发射器进行多场耦合仿真， 考虑电枢运动以及电流趋肤效应， 得到瞬态发射过程中电流、 电枢速度和位移随时间的变化， 如图6所示。 由图6可得， 电枢在 t=0.69 ms时， 距起始端525 mm处， 达到轨道的临界速度。

3 身管紧固时轨道的振动特性仿真分析

在电磁轨道发射器的发射过程中， 瞬态脉冲电流流过轨道和电枢。 轨道和电枢上的电流密度分布会随着时间的变化呈现不同的分布特性， 进而影响枢轨受到的电磁力。 图7为电枢上多个时间点的瞬态电流密度分布。

由图7可知， 在发射过程初始阶段时， 电枢和轨道上的电流密度分布特性随时间的变化较为剧烈。 在刚通入电流0.01 ms时（图7（a））， 电流主要分布在轨道与电枢的表面， 同时在电枢臂尾部和电枢喉部均出现较明显的电流集中现象， 这是由于趋肤效应的影响;  随着发射时间增加（图7（b）～（c））， 电枢由静止开始加速运动， 电流逐渐渗入轨道与电枢， 尤其是电流在电枢上的分布逐渐变得均匀， 只在电枢喉部依然存在明显的电流集中;  在电枢开始运动以后（图7（d））， 随着速度的增加， 电枢臂尾部与轨道接触处， 出现了电流集中， 产生该现象的原因有： （1）电枢臂受到电磁力的影响， 对轨道表面产生了挤压力， 此处的接触电阻减小， 电流密度增大; （2）随着电枢速度的不断提升， 电枢与轨道电接触位置出现速度趋肤效应， 速度越大， 趋肤深度越小。

为了分析紧固前后的轨道振动特性变化， 建立电磁轨道发射器的电磁-结构耦合模型， 设定模态求解阶数， 求取轨道振动频率。 在实际工程中， 紧固的减振效果受紧固约束力影响， 且当紧固约束力过小时， 会导致轨道的减振效果降低， 因此将紧固简化為完全固定约束， 以控制变量便于对比分析。 如图8所示， 紧固添加在轨道中点， 作用于直径为20 mm的圆面上。 其中a， b， c为测量点， 分别距起始端250 mm， 375 mm， 625 mm。

图9为紧固前后轨道上a， b， c三点的挠度随时间的变化。 相比于无紧固， 有紧固时轨道上三点的振动幅度均有明显减小， 且振动持续时间有所缩短; 中点紧固对距离较近的b点、 c点的减振效果比a点更明显。

图10为紧固前后轨道纵向各处上的最大剪切应力变化。 相比于无紧固， 有紧固时轨道某些位置存在应力突变的现象， 如图中H点的最大剪切应力为44 MPa， 而该点在无紧固时的最大剪切应力为26.7 MPa。 这可能是由于添加紧固会增大约束部位的预紧力， 从而影响轨道的应力集中水平和发射时的轨道膨胀率， 同时受枢轨耦合振动的影响， 会导致模型部分段产生较大的振幅， 若此处恰好存在约束， 则约束会造成模型出现很大的剪切应力， 进而导致模型损伤。 因此有必要对身管紧固位置进行优化， 使其在起到良好减振效果的同时， 可以尽量避免约束部位产生过大的剪切应力。

4 基于临界速度时刻的减振优化

在最初无法确定任何一个约束点的位置时， 优化流程是： 先对电磁轨道发射器进行非线性静力学分析， 再依据临界速度时刻的轨道刚度进行模态叠加分析， 最后根据模态节点定义约束点。

4.1 基于模态叠加的紧固位置优化

表2为轨道轴向模态前10阶振型的参与系数与累加质量因子。 至第10阶， 各阶有效质量之和近似等于结构总质量， 模态阶数足够。 对各阶模态的参与系数进行归一化， 得到模态叠加系数。

应用Design Assessment模块进行模态叠加分析， 轨道上下表面的变形如图11所示。

模态分析中变形值是归一化后的变形， 用于定性地观察结构固有振型的共振区域和振动幅度。 很明显， 可以对图中区域相对变形小的区域添加紧固约束。 创建基于轨道上下外表面中线的所有节点选择集， 导出的节点编号及对应的变形经过排序后， 如表3所示。 容易找到节点集内总变形极小值的节点组合分别为： d点（4 700， 21 769）， 总变形量为8.287 4 mm， 距起始端270 mm; e点（3 764， 20 833）， 总变形量为8.426 9 mm， 距起始端660 mm。

4.2 优化效果对比

根据紧固位置的优化方案， 对d点紧固、 e点紧固的减振效果进行仿真对比， 得到优化前后轨道的固有频率变化（见表4）， 优化前后轨道各点挠度随时间的变化（见图12）， 以及优化前后轨道各位置上的最大剪切应力变化（见图13）。

由表4可得， 优化后轨道的固有频率要稍小于优化前中点紧固时的固有频率。 这是由于优化前的紧固位置靠近轨道振动幅度较大处， 紧固较大地增加了模型刚度， 提高了轨道的固有频率。 为了避免产生过大的剪切应力， 优化位置避开了轨道振幅较大处， 适当提高整个模型的刚度， 同时由于约束点振幅较小， 在相应位置所受的振动冲击也较小， 较好地提高了整个模型的动力学性能。

由图12可知， 三种紧固方式均起到良好的减振作用。 相比于中点紧固， d点紧固进一步提高轨道前部的减振效果， 在电枢运动到轨道后部时出现了挠度波动， 表示d点紧固的减振作用受到距离的衰减。 类似地， e点紧固对于轨道后部的减振效果更强， 在轨道前部反而出现了相反效果。 针对这一情况， 可以在已有紧固的基础上进行模态分析， 再对一个或多个模态节点施加约束， 以达到更好的减振效果。

由图13可得， 三种紧固方式均在紧固点附近位置出现了应力集中现象。 其中， 紧固点e附近Q点的应力突变最为明显， 最大剪切应力为100.79 MPa， 在无紧固时为15.7 MPa， 增幅542%。 这是因为在临界速度工况下， 随着电枢运动， 轨道挠曲波动逐渐向炮口延伸， 紧固点e正处于轨道剧烈共振范围， 导致应力集中急剧增大。 同时， 紧固点d附近的P点也产生了应力突变， 最大剪切应力为96.69 MPa， 在无紧固时为63.87 MPa， 增幅51%。 这是由于发射初始阶段， 电枢运动加速度大， 导致轨道振动加速度也较大。 相比之下， 轨道中点虽较e点更为接近临界速度位置， 但采用中点紧固方式时的集中应力只有44 MPa， 可见临界速度引起的共振对于电枢运动后方的轨道影响较前方小， 因此设置紧固位置时应优先考虑在临界速度位置之前设置。

综合分析可得， 身管紧固起到了减振作用， 轨道挠度减小， 弯曲应力减小， 但紧固约束会导致附近轨道上出现应力集中， 使该处的剪切应力有所增大。 对于减振而言， 紧固虽然可能会增大轨道上的剪切应力， 但肯定也会减小轨道因振动产生的屈服应力， 两者之间存在一个安全裕量， 故需要建立评估指标衡量减振优化后的轨道应力场， 确定减振效果最好的紧固方案。

4.3 评估指标分析

电磁发射器轨道的首要作用是为电枢运动提供平顺稳固的发射条件， 以保证良好的发射稳定性， 这就要求轨道具有足够的刚度、 强度和耐久性。 上文对不同紧固方式的优化效果进行了分析， 不同紧固位置的减振效果受到该处的振动特性限制， 必须合理地选择， 才能实现预定的减振目标。 如果位置选择不合理， 导致紧固引起的剪切应力增大， 反而会严重影响轨道结构强度。

基于以上考虑， 工程上引入振动传递率η， 以便于对比减振前后的效果， 即

η=ahaq（22）

式中： ah为减振后的轨道振动加速度值;  aq为减振前的轨道振动加速度值。

同理， 引入应力变化率γ， 以便于对比减振前后轨道强度变化， 即

γ=τh-τqτq（23）

式中： τh为减振后的轨道最大剪切應力值; τq为减振前的轨道最大剪切应力值。

表5为不同紧固方式下优化前后的轨道最大振动加速度值与传递率。  由表5可得， d点紧固时轨道各测量点的传递率均小于10%， 可见其对于轨道各个位置均有良好的减振效果; 相比于d点紧固， 中点紧固对轨道后部的减振效果更好， 但对轨道前部的减振效果较差， 对整个结构的减振作用不够全面; 而e点紧固的减振效果最差， 仅对轨道末端的减振效果比较明显。

表6为不同紧固方式下优化前后的轨道最大剪切应力值与应力变化率。

由表6可得， d点紧固位置处减震前的最大剪切应力的变化率也是最小的， 其对轨道强度的要求最低。

因此， 综合考虑紧固的减振效果与应力集中负效应， 可认为基于该仿真模型的d点紧固方式为最优减振方案。

5 结  论

针对电磁轨道发射器瞬态发射过程中的振动问题， 对身管紧固的减振效果進行优化。 基于电磁轨道发射器临界速度时刻的系统刚度进行模态分析， 提出减振优化方法， 对不同紧固位置的减振效果进行对比分析， 得出以下结论：

（1） 紧固的减振效果受到紧固位置的振动特性影响， 包括原始振动幅度、 振动频率等。 同时， 因受外界激励和枢轨耦合振动影响， 轨道上的紧固约束会导致大剪切应力， 进而引起损伤。 减振优化时应综合考虑轨道强度、 刚度要求， 选择合适位置添加紧固， 以适当提高轨道强度要求， 减弱振动影响。

（2） 单点紧固已达到了良好的减振效果。 对于减振效果的远端弱化问题， 可以尝试在已有紧固的基础上进行二次模态叠加， 确定多个模态节点施加约束， 以达到更好的减振效果。

（3） 发射过程中轨道前段的振动幅度大， 紧固轨道前段的减振效果较为明显; 紧固轨道后段时， 应避开临界速度效应的影响范围， 且由于轨道挠曲波动逐渐向炮口延伸， 紧固设置于临界速度位置之前为佳。

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Simulation Optimization of Body Tube Fastening of

Electromagnetic Rail Based on Modal Analysis

Li Tengda，  Feng Gang ，  Lian Zhongmou

（Air Force Engineering University，  Xian 710051，  China）

Abstract：  In order to further improve the vibration reduction optimization effect  of the electromagnetic rail transmitter body tube fastening，  the modal analysis method is used to simulate the selection scheme of  fastening point. On the basis of simplifying the electromagnetic orbit emitter into Bernoulli-Euler beam，  the vibration response analysis and modal analysis are carried out，  and the whole process of emission is simulated by establishing the finite element model of the transmitter. According to the system stiffness of critical velocity，  the optimal fastening position is determined and the evaluation index is put forward to evaluate the optimization effect. The simulation results show that the addition of fastening can effectively improve the stiffness of the transmitter， and the vibration absorption effect of the fastening is affected by the vibration characteristics of the fastening position，  and the selection of the fastening position should avoid the resonance range of the critical velocity as far as possible， and the position is located before the arrival position of  the critical speed on the premise of meeting the requirements，  the addition of fastening leads to the stress concentration in the adjacent parts of the rail to improve the rail strength.

Key words：  electromagnetic launch; rail; vibration reduction optimization; modal analysis; finite element simulation