不定积分的几种计算方法

范云鹏 樊雪双

摘 要：在高等数学的学习当中，不定积分的计算是非常重要的内容。但是好多初学者见到不定积分的题，没有思路，遇到不知道用哪一个积分方法，本文把不定积分的求法做一个总结，希望对初学者有一定帮助。

关键词：凑微分;分部积分

在高等数学的学习当中，导数和不定积分是非常重要的内容。相对于导数而言不定积分的计算难度更大一些，方法更灵活一些。原因在于不定积分的方法很多，而且有的题目需要将各种方法结合使用，因此有一定的难度。

1 直接积分法

一些简单的不定积分题目，被积函数是基本初等函数，或者可以经过化简成基本初等函数，结合不定积分的性质和基本积分公式，可以求出它们的不定积分。

例1：求不定积分（x2-1x-1-cosx+11+x2）dx。

解：被积函数含有-cosx和11+x2，可以直接积出来，x2-1x-1化简成x+1后也可以直接用基本积分公式。原式=（x+1-cosx+11+x2）dx=x22+x-sinx+arctanx+C。

例2：求不定积分x41+x2dx。

解：不能直接用公式，但是可以先化简一下，x41+x2=x4-1+11+x2=x2-1+11+x2，原式=x41+x2dx=x4-1+11+x2dx=（x2-1+11+x2）dx=x33-x+arctanx+C。

从上面两个例题可以看出，利用基本积分公式和性质可以求一些简单函数的积分，对于比较复杂的函数比如复合函数我们就需要掌握一些积分的方法。

2 第一換元积分法（凑微分法）

定理1：若f（u）=F（u）+C，u=φ（x）具有连续导数，则f[φ（x）]dφ（x）=F[φ（x）]+C。

此公式称为第一换元积分公式，利用第一换元积分公式称为第一换元积分法。此种方法关键是要凑出φ（x），因此也称为“凑微分法”。

例3：求不定积分e3xdx。

解：基本公式exdx=ex+C，但e3xdx=e3x+C，答案是错的，因为（e3x）′=3e3xe3xdx=13e3x（3x）′dx=13e3xd3x令3x=u13eudu=13eu+C把u=3x带回13e3x+C。

例4：求不定积分cotxdx。

解：无法直接套用基本公式，在被积函数中凑微分cotx=cosxsinx，把cosx凑进去，cosxdx=（sinx）′dx=dsinx，cotxdx=cosxsinxdx=1sinxdsinx，令sinx=u，原式=1udu=lnu+C，把u=sinx=u带回，原式=lnsinx+C。

例5：求不定积分（arctanx）121+x2dx。

解：不能直接，需要凑微分。

11+x2dx=darctanx，原式=（arctanx）12darctanx，令arctanx=t，原式=t12dt=23t32+C，把arctanx=t带回，原式=23（arctanx）32+C。

3 第二换元积分法

定理2：设x=φ（t）是单调可微函数，且φ′（t）≠0，令x=φ（t），则f（x）dx=f[φ（t）]dφ（t）=f[φ（t）]φ′（t）dt=G（t）+C=G（φ-1（x））+C，此公式称为第二换元积分公式，利用第二换元积分公式称为第二换元积分法。

（1）当被积函数含有一次函数时，即ax+b时，可用根式代换。令ax+b=t，则x=t2-ba，dx=2tadt，可以达到去掉根号的目的。

例6：求不定积分xx+1dx。

解：令x+1=t，则x=t2-1，dx=2tdt，xx+1dx=（t2-1）×t×2tdt=2（t4-t2）dt=2t55-2t33+C，把x+1=t代回，原式=25（x+1）52-23（x+1）32+C。

例7：求不定积分1x（1+3x）dx。

解：被积函数中含有两个根式x，3x。如果令x=t，那么3x=x13=（x12）23=t23=3t2，达不到去掉根式的目的，同样令3x=t也一样。

2和3的最小公倍数是6，令6x=t，那么x=t6，dx=6t5dtx=（x16）3=t3，3x=（x16）2=t2。原式=6t5t3（1+t2）dt=6t21+t2dt=6（1-11+t2）dt=6（t-arctant）+C=6（6x-arctan6x）+C。

（2）对于任意的x，有a2sin2x+a2cos2x=a2，a2+a2tan2x=a2sec2x，a2sec2x-a2=a2tan2x，当被积函数含有a2-x2，a2+x2，x2-a2时，可以利用三角函数达到去掉根号的目的。

例8：求不定积分1-x2dx。

解：令x=sint，dx=costdt，原式=1-sin2t×costdt=cos2tdt=1+cos2t2dt=12（t+12sin2t）+C，t=arcsinx，sin2t=2sintcost，原式=12（arcsinx+x1-x2）+C。