邱为钢
(湖州师范学院 公共教研部,浙江 湖州 313000)
《电动力学题解》(第2版)[1]中有这样一道经典的求电势分布的题目(编号2-24),在半径为R的球面上,两半球面都是等势面,且电势互为相反数,求球内外空间各点的电势.文献[1]给出了电势的具体表达式,但是没有进一步求球面上的电荷密度和半球面上的电量.本文想回答这个问题,这个有限面积球面上的电量到底有多大?
先简要推导电势的求解,具体细节可参考文献[1,2].由于体系的对称性,可以直接写出球内外的电势的表达式:
(1)
(2)
这种电势的表达式满足拉普拉斯方程,且在球面上连续,满足电势在球面内外的连续条件.在球面上有
(3)
利用勒让德函数的正交性,得到展开系数Cl的积分表达式
(4)
其中l为奇数,文献[1]给出奇数项系数表达式为
(5)
从电势的勒让德函数求和表达式(1)和(2),得到球内外两侧电场径向分量的表示:
(6)
(7)
由高斯定理,球面的电荷密度等于这两者之差再乘以真空介电常数,即
(8)
对半球面积分,就得到电荷的表达式
(9)
把式(8)和式(4)代入式(9),做变量代换x=cosθ,计算得到
(10)
再利用式(4),得到半球面上电荷量的无穷求和式
(11)
这个无穷求和没有解析表达式,虽然有可能有多重积分表达式(便于数值计算).先看一下这个无穷求和是收敛还是发散,需要确定当n趋向无穷大时,系数C2n+1的渐近展开式.首先把(5)式中的双阶乘表示为以下连乘形式:
(12)
然后利用伽玛函数比值的乘积公式:
(13)
得到系数绝对值的表达式:
(14)
由对数伽玛函数的渐近展开式[3]:
计算得到
再利用以下渐近展开式:
得到系数绝对值式(14)对数的渐近展开式:
由此得到电荷求和表达式(11)中的通项有这样的渐近展开式:
(15)
由高等数学中数列敛散判断法则,式(11)中无穷求和是发散的,即半球面上的电荷量是无穷大.
为了维持两个半球面上相反且有限大小的电势,不仅两个半球面相互要绝缘,理论上必须给半球面输入无穷大的电量,这是不可能实现的.但是球面上总的电荷量为零,所以需要一个可以无限能量供应的精灵,在赤道上随时抽出大小相等符号相反的电荷,分到两个绝缘的半球面上,无限长时间后,才能达到两个半球面分别等势.