剖析应用机械能守恒定律的十种题型

成金德

机械能守恒定律是高中物理中最重要的力学规律之一，是历年高考中的重点和热点内容. 在实际应用中，机械能守恒定律往往与线、杆、弹簧等模型相联系，再结合有关运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动等相关知识，其综合性强、涉及知识点多，难度较大的特点十分鲜明. 为了更好地理解和掌握机械能守恒定律的应用，帮助大家做好复习备考工作，本文就熟练应用机械能守恒定律的十种题型作详尽的分析和探讨.

1. 机械能守恒条件的判定.

机械能是否守恒，可以通过下面个方面进行判定：其一，对某一系统，如果只有重力和弹簧的弹力做功，其它的力不做功，或者做功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒;

其二，对某一系统，如果系统内的物体间只有动能和重力势能及弹性势能间的相互转化，没有其它形式的能的转化，则该系统的机械能守恒.

【例1】如图1所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速释放，让小球自由摆下，不计空气阻力. 在小球由A点摆向最低点B的过程中，以下说法中正确的是（ ）

A. 小球的机械能守恒

B. 小球的机械能减少

C. 小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D. 小球和弹簧组成的系统机械能守恒

分析：对小球而言，重力和弹簧的弹力均做功，在小球自由摆下的过程中，小球的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，小球的机械能不守恒，即选项A错误，选项B正确;若取小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，则系统的机械能守恒，即选项C错误，选项D正确.

点评：本题中，如果只取小球作为研究对象，则由于弹簧对小球做功，则小球的机械不守恒. 若取小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，则机械能守恒. 在判断某一系统机械能是否守恒时，必须弄清守恒的条件.

2. 单个物体的机械能守恒.

对单个物体（实际上包含地球，但在通常情况下，可以不提地球），机械能守恒条件是只有重力和弹簧的弹力做功.

【例2】（2016年海南卷）如图2所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动. 已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2.  重力加速度大小为g，则N1-N2的值为（ ）

A. 3mg B. 4mg

C. 5mg D. 6mg

分析：小球在最低点时受到重力mg和轨道对小球的弹力的作用，设小球此时的速度为v1，根据牛顿第二定律可知：

-mg=m

根据牛顿第三定律可知：=N1

小球在最高点时受到重力mg和轨道对小球的弹力的作用，设小球此时的速度为v2，根据牛顿第二定律可知：

mg+=m

根据牛顿第三定律可知：=N2

小球从最低点运动至最高点的过程中，只有重力做功，则机械能守恒. 取最低点处的重力势能为零，根据机械能守恒定律得：

m=mg·2R+m

解以上几式得：N1-N2=6mg，则选项D正确.

点评：小球在光滑圆轨道上做圆周运动的过程中，由于只有重力做功，则此过程中小球的机械能守恒，这是解决本题的关键所在.

3. 多個物体的机械能守恒.

对涉及多个物体的问题，必须明确两点：其一，涉及多个物体的系统，机械能守恒的条件是只有系统内的重力和弹簧的弹力做功，其他力不做功或者做功的代数和等于零. 或者系统内只允许势能与动能间的转化，不允许系统内机械能与其他形式能量的转化，更不允许系统内与系统外间的能量转化;其二，要弄清选取哪些物体作为系统时，机械能是守恒的. 选取哪些物体作为系统时，机械能是不守恒的.

【例3】如图3所示，10个质量均为m、半径均为r的均匀刚性球，在施加于1号球的水平外力F的作用下均静止，力F与圆槽在同一竖直面内，此时1号球球心与它在水平槽运动时的球心高度差为h. 现撤去力F使小球开始运动，直到所有小球均运动到水平槽内. 重力加速度为g. 求：

（1）1号球刚运动到水平槽时的速度;

（2）整个运动过程中，2号球对1号球所做的功.

分析：（1）1号球在下滑过程中，受到重力和圆槽的弹力作用，由于圆槽的弹力不做功，则1号球下滑过程中机械能守恒，则：

mgh=m

即1号球刚运动到水平槽时的速度为：v1=.

（2）取10个小球为研究对象，10个小球在下滑过程中只有重力做功，运动到水平槽上后，由于相互作用，最终以同一速度做匀速直线运动，其间由于小球间的弹力作用，虽然有动能与动能间的转移，但机械能守恒. 设10个小球的最终速度为v，根据机械能守恒定律得：

10mg（h+9r·sin？兹）=·10m·v2

解得：v=

由动能定理可求得2号球对1号球所做的功为：

W=mv2-m=9mgrsin？兹

点评：1号球在下滑过程中，只有重力做功，此过程1号球的机械能守恒. 从开始到10个小球都运动到水平槽内并做匀速运动的整个运动过程中，由于小球间有相互作用力，而且，相互作用力做了功，实现小球间动能的转移，但10个小球的机械能依然守恒. 在整个运动过程中，对于任何一个小球来说，由于相互作用力做了功，因此机械能都不守恒. 因此，在解题时，一定要弄清楚机械能守恒的条件.

4. 多过程的机械能守恒.

求解多过程问题，关键在于弄清各个小过程中是否满足机械能守恒的条件，如果系统内只有重力和弹簧的弹力做功，则机械能守恒，可以应用机械能守恒定律建立方程.

【例4】如图4所示，质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C，用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端处竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，碰撞过程中没有动能损失，小球落地后均不再反弹，现由静止开始释放它们，不计所有摩擦. 求：

（1）A球刚要落地时的速度大小;

（2）C球刚要落地时的速度大小.

分析：（1）此题可分为三个小过程：小球A下落的过程;小球B从斜面顶端下落的过程;小球C从斜面顶端下落的过程.

在小球A下落的过程中，取三个小球为研究对象，只有重力做功，则机械能守恒. 取地面为零势能处，设小球A下落到地面时的速度为v1，由机械能守恒定律得：

2mgLsin30°+3mg·2Lsin30°

=mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·6m·

解得：v1=

（2）在小球B下落的过程中，取B、C两个小球为研究对象，由于只有重力做功，则机械能守恒. 设小球B下落到地面时的速度为v2，由机械能守恒定律得：

mgLsin30°+2mg·2Lsin30°+·3m·

=mg·2Lsin30°+·3m·

解得：v2=

在小球C下落的过程中，由于只有重力做功，则机械能守恒. 设小球C下落到地面时的速度为v3，由机械能守恒定律得：

mg·2Lsin30°+·m·=m

解得：v3=.

点评：本题中，从小球A开始下落到小球C下落到地面上的过程中，可以分为三个小过程. 在小球A下落过程中，只有取三个小球为系统时机械能才守恒;在小球B下落过程中，只有取B、C两个小球为系统时机械能才守恒;在小球C下落过程中，只有取小球C为研究对象时机械能才守恒. 因此，在求解多过程问题时，必须弄清各个过程机械能是否守恒，选取哪些物体作为系统时机械能才守恒.

5. 绳子牵连的物体系的机械能守恒.

求解通过绳子牵连的物体构成的系统问题，必须注意两点：其一，要弄清机械能守恒的条件;其二，对于不可伸长的绳子模型，绳子两端的物体在沿着绳子方向的分速度大小一定相等.

【例5】有一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用一不可伸长的轻质细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘一侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图5所示. 已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦阻力，求：

（1）A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小;

（2）A球沿圆柱内表面运动的最大位移.

分析：（1）在A下滑至圆柱内表面最低点的过程中，取A球、B球和绳子组成的系统为研究对象，除了重力做功外，绳子对A球做负功，绳子对B球做正功，其代数和等于零，可见，该系统机械能守恒. 设A球滑至最低点时的速度大小为vA，此时B球的速度为vB. 设B球的质量为m，则A球的质量为2m，由机械能守恒定律得：

2mgR-mgR=·2m·+m

由于两个球沿着绳子方向的速度大小相等，将A球的速度vA分解为vA1和vA2，如图6所示，则有：vB=vA1=vA cos 45°

解以上两式得：vA=2

（2）当A球沿圆柱内表面运动的位移最大时，如图7所示，此时A球的速度为0. 设A球最大位移为x，由几何关系可求出A球下降的高度h：

h=

由机械能守恒定律得：2mgh-mgx=0

解得：x=R

点评：A球和B球通过绳子牵连，由于绳子的不可伸缩，则两个球沿着绳子方向的速度大小相等. 本题中，在A球下滑的过程中，虽然绳子分别对两个球做功，但做功的代数和等于零，所以，在A球下滑的过程中，系统的机械能守恒.

6. 轻杆牵连的物体系的机械能守恒.

通过轻杆连接的物体系，由于輕杆的不可伸缩性，在轻杆方向上，轻杆两端的物体的分速度大小相等. 轻杆通过做功可以起到传递机械能的作用，但系统的机械能总量不变.

【例6】如图8所示，有一光滑轨道ABC，AB部分是半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，忽略小球的大小. 开始时a球处在圆弧上端的A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（ ）

A. a球下滑过程中机械能守恒

B. a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械守恒

C. a、b滑到水平轨道上时速度大小为

D. 从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR

分析：对a球来说，重力和轻杆对它的弹力都做正功，因此，a球的机械能增加，选项A错误;对a、b两球和轻杆组成的系统，在下滑过程中除了重力做功外，轻杆对a球做正功，对b球做负功，且代数和等于零，因此，a、b两球和轻杆组成的系统总机械能守恒，选项B正确;

对a、b系统应用机械能守恒定律得：

mgR+mg·2R=·2m·v2

解得：v=，可见，选项C错误;

对a应用动能定理得：mgR+W=mv2，解得W=mgR，所以，选项D正确.

点评：本题中，由a球、b球和轻杆组成的系统，虽然轻杆分别对两球做了功，但代数和等于零，故系统的机械能守恒. 但对于其中的任一个球，机械能都不守恒. 在两个球下滑过程中，它们的速度并不相等，但沿着轻杆方向的分速度大小一定相等.

7. 弹簧牵连的物体系的机械能守恒.

由弹簧和通过弹簧相牵连的两个物体所组成的系统，如果只有弹簧的弹力和重力做功，则系统的机械能守恒. 在相互作用过程中，当弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，弹簧两端的物体具有相同的速度. 如果弹簧和通过弹簧相牵连的两个物体所组成的系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧的长度为自然长度时（无形变），系统内弹簧某一端的物体具有最大速度.

如果弹簧与其两端的物体不相连，弹簧的作用是将其储存的势能转化为物体的动能.

【例7】如图9所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡. 在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两个小球挤压但不与两球连接，处于静止状态. 同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B. 已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g. 求：

（1）a球离开弹簧时的速度大小va;

（2）b球离开弹簧时的速度大小vb;

（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep .

分析：（1）由于a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，由牛顿第二定律可知：

m1g=m1

a球被弹簧推出至运动到圆弧轨道的最高点的过程中，只有重力做功，故机械能守恒，即：

m1=m1+m1g·2R

所以，a球离开弹簧时的速度大小为：va=.

（2）b球从被弹簧推出至运动到斜轨道的最高点B的过程中，只有重力做功，故机械能守恒，即：

m2=m2g·10R

则b球离开弹簧时的速度大小vb为：vb=2

（3）在释放小球的过程中，取弹簧和两个小球为系统，由于系统只有弹簧的弹力做功，則系统的机械能守恒，设弹簧在释放小球前具有的弹性势能为Ep，根据机械能守恒定律得：Ep=m1+m2

解得：Ep=（m1+10m2）Rg

点评：本题中的弹簧与其两端的小球并不相连，所以，弹簧通过弹力将其势能转化为两个小球的动能. 就其中的一个小球而言，由于弹簧的弹力做功，其机械能不守恒，但如果取两个小球和弹簧组成的系统，则在相互作用过程中，系统的机械能守恒.

8. 匀质链条的机械能守恒.

对于匀质链条类问题，由于在运动过程中，链条的重心位置相对链条要发生变化，因此，求解链条类问题时，不能简单地将链条当作质点来处理. 如果链条只在重力做功的情况下，则可以应用机械能守恒定律求解. 求解时，往往将链条分段进行处理.

【例8】如图10所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始时静止地放在ABC面上，其一端D至B的距离为L-a，其中a未知，现自由释放链条，当链条的D端滑到B点时链条的速率为v，求a.

分析：在链条下滑的过程中，由于只有重力做功，则机械能守恒. 取光滑水平面AB处为零势能位置，设链条单位长度的质量为m，则链条开始时的机械能为：

E1=-am·g·asinα

当链条的D端滑到B点时，此时链条的机械能为：

E2=-Lm·g·Lsinα+Lmv2

由机械能守恒定律知：E1=E2

解以上方程得：a=

点评：由于链条下滑的过程中只有重力做功，所以，链条的机械能守恒. 开始时，在确定重力势能时，可以将链条分为两段进行处理，这样就很容易求出链条的重力势能，从而使问题得到顺利解答.

9. 流体的机械能守恒.

对于流体，在状态变化的过程中，由于流体的重力势能的变化与过程无关，只与始末状态有关，因此，求解流体问题，通常采用等效法. 求解时要注意整段液柱的重力势能的变化相当于某一部分液柱的重力势能的变化.

【例9】如图11所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现取走盖板，液柱开始流动. 当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度大小为多大？

分析：取走盖板，在液体流动的过程中，由于只有液体的重力做功，所以，液体的机械能守恒.

当两侧液面恰好相齐时，设此时右侧液面下降的速度为v，高为h/2的液体的质量为m. 在此过程中，整段液体重力势能的减少量相当于将如图12所示的高为h/2的液柱1移到位置2时减少的重力势能，即：

△Ep=-mg·

显然，此过程减少的重力势能转化为整段液体的动能，由机械能守恒定律得：

mg·=·8m·v2

解得：v=

点评：本题中，在液体流动过程中，液体重力势能减少，转化为液体的动能. 求解本题的关键在于如何确定液体重力势能的减少量，这里采用了等效法，即把整段液体重力势能的减少量等效为高为h/2的液柱下降h/2高度所减少的重力势能. 这样，就可以顺利地找到了解题的突破口.

10. 综合问题的机械能守恒.

在求解综合问题时，只有那些只有重力做功和弹簧的弹力做功的情况下，才能应用機械能守恒定律. 通常情况下，对一个综合性的力学问题，往往要综合应用不同的力学规律，在求解时，务必正确分析物理过程和特点，准确选取物理规律.

【例10】2020年新年伊始，人们怀着对新一年的美好祝愿和期盼，在广场的水平地面上竖立了2020数字模型，如图13所示，该模型是由较细的光滑管道制造而成，每个数字高度相等，数字2上半部分是半径R1=1m的圆形管道，数字0是半径R2=1.5m的圆形管道，2与0之间分别由导轨EF和HM连接，最右侧数字0管道出口处与四分之一圆轨道MN连接. 从轨道AB上某处由静止释放质量为m=1kg的小球，若释放点足够高，小球可以顺着轨道连续通过2020管道并且可以再次返回2020管道. D、G分别为数字2与0管道上的最高点，水平轨道BC与小球间的动摩擦因数μ=0.5，且长度为L=1m，其余轨道均光滑，不计空气阻力且小球可以当作质点，g取10m/s2.

（1）若小球恰好能通过2020管道，则小球在AB轨道上静止释放处相对地面的高度h为多少.

（2）若小球从h1=5 m高处静止释放，求小球第一次经过D点时对管道的压力.

分析：（1）小球恰好能通过2020管道的临界条件是过最高点时的速度等于零，设小球到达C点时的速度为vC，从开始至到达C点的过程中应用动能定理得：

mgh-μmgL=m

小球从C点运动至数字为2的管道的最高点D的过程中，由于只有重力做功，小球的机械能守恒，则有：

m=mg·2R2

解得：h=3.5m

（2）小球从释放到运动至C处时，由动能定理得：

mgh1-μmgL=m

小球从C点运动至数字为2的管道的最高点D的过程中，由于只有重力做功，小球的机械能守恒，则有：

m=mg·2R2+m

小球第一次经过D点时，设小球在D处受到的弹力为FN，由牛顿第二定律得：

mg+FN=m

解以上方程得：FN=20N

由牛顿第三定律可知小球在D处对管道的压力大小为20N，方向竖直向上.

点评：小球在运动过程中，经过水平轨道BC时，由于摩擦力做功，小球的机械能不守恒，小球经过其余各处时都只有重力做功，其机械能守恒. 因此，在解题时还需要运用动能定理求解相关的速度.

总之，在应用机械能守恒定律解决力学问题时，既要重视机械能是否守恒的条件分析，也要注意研究对象的准确选取. 这样，才会顺利达到应用机械能守恒定律解决问题的目的.

责任编辑 李平安