地铁闸机齿轮疲劳裂纹扩展与剩余寿命预测

管陆双，王亚平，谢金华，包建东

(1.南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094) (2.广州地铁集团有限公司，广东 广州 510308) (3.南京理工大学自动化学院，江苏 南京 210094)

齿轮是地铁闸机的关键零件，齿轮的使用性能直接影响地铁闸机的工作状态。齿轮在产生疲劳裂纹后仍能承受一定的工作载荷，从裂纹产生到齿轮损坏临界裂纹长度仍有相当长的使用寿命。因此，进行闸机齿轮在裂纹产生后的寿命预估，对于闸机的故障监测诊断和运行维护具有重要意义和实用价值。

齿轮的疲劳寿命包括两方面，即裂纹萌生寿命与裂纹扩展寿命。疲劳寿命分析软件如c-node、fe-safe等只能计算裂纹萌生寿命，而裂纹扩展寿命可通过Paris幂函数式、Forman公式和Walker公式等计算。目前多采用有限元法研究齿轮三维裂纹的扩展轨迹及扩展寿命，分析不同载荷、不同缺陷位置对齿轮寿命的影响[1-5]，但是在求解裂纹扩展轨迹时均人为规定初始裂纹位置，没有考虑在实际工况下初始裂纹的实际产生位置，往往会造成较大的仿真误差。

本文以线弹性断裂力学为基础，研究了地铁闸机齿轮裂纹扩展长度与使用寿命的关系。首先采用扩展有限元法(extended finite element method,XFME)获得了裂纹扩展轨迹；其次利用ABAQUS分析了齿轮不同啮合位置、不同阻力矩和不同裂纹初始位置情况下应力循环次数与裂纹扩展长度间的关系；最后采用逐步回归分析和灰度关联法建立了地铁闸机齿轮疲劳裂纹扩展寿命的预测模型。

1 裂纹扩展寿命估算方法

应力强度因子是反映裂纹尖端弹性应力场强弱的物理量，可由经验公式求出：

(1)

式中：K为应力强度因子；σ为循环应力，MPa；a为裂纹尺寸，mm，计算三维裂纹时取裂纹面积的平方根；f为几何修正系数，对无限大板(裂纹长度a/板宽W<0.1)且为单边裂纹时，可取f=1.12。

当应力强度因子K值超过材料的断裂韧度KIC时，裂纹进入快速扩展阶段，此时可认为零件失效，对应的裂纹断裂长度为aC，对应的应力循环次数为NC，NC即为疲劳裂纹扩展寿命。

通过Paris幂函数式：

(2)

可知，疲劳裂纹扩展速率是应力强度因子幅值ΔK的函数[6]。ΔK为裂纹长度a的函数，随着a的增大而增大。

(3)

式中：Kmax与Kmin分别为循环过程中应力强度因子的最大值与最小值；σmax与σmin分别为循环过程中循环应力的最大值与最小值；C，m为描述材料疲劳裂纹扩展性能的基本参数，由实验确定，多数材料m取值为2～4。

对式(2)积分可得疲劳裂纹扩展寿命NC：

(4)

式中：a0为初始裂纹长度。

将式(4)离散化后求和：

(5)

式(5)为材料处于平面应力或平面应变为二维状态下的计算公式，在三维状态下，取：

式中：A为裂纹面积。

2 地铁闸机齿轮工作载荷分析

地铁闸机扇门结构如图1所示，主要通过下主动齿轮和上被动齿轮的啮合来传递力矩，实现扇门的开关。

1—下滑动轴承座；2—下部主动摆臂；3—电机转动轴；4—齿轮盘；5—上部主动摆臂；6—支座板；7—上滑动轴承座；8—上滑动轴承；9—上部扇门摆臂；10—扇门门体；11—下部扇门摆臂；12—下滑动轴承

齿轮为闭式硬齿面直齿圆柱齿轮，其主要破坏形式为疲劳折断，齿轮齿根受弯曲应力作用，产生疲劳裂纹，裂纹不断扩展，最终导致轮齿折断。通过对闸机运动过程的分析可知，在闸门关闭瞬间齿轮右侧第4、5、6轮齿啮合，第5轮齿受力最大，在满足标准齿轮和标准中心距安装要求的情况下，力集中作用在齿宽中点位置，如图2所示箭头所指的位置。

图2 轮齿受力

3 裂纹扩展轨迹和寿命分析

3.1 分析模型建立

为了节约计算资源，选取全尺寸齿轮的1/3进行有限元模型的建立，网格类型为C3D8R二阶缩减积分单元。初始损伤准则采用最大主应力准则；基于能量损伤演化类型，即以损伤开始后失效所需能量(断裂能)定义损伤；混合模式为幂法则，能量系数取1；损伤稳定系数设置为0.000 5，用来改善收敛；在齿侧施加压应力，该压应力为闸机运动过程中两个齿轮啮合处的受力；在齿圈底面与侧面添加位移边界条件。

3.2 裂纹扩展轨迹分析

图3为正常工作载荷下轮齿裂纹的扩展轨迹，当应力强度因子K小于材料的临界应力强度因子KIC时，裂纹处于稳定扩展状态。图4为不同裂纹长度下应力强度因子的变化曲线，由图可知，当裂纹扩展到2.6 mm时，应力强度因子超过材料的临界值KIC=2 840 N·mm-3/2，说明裂纹进入失稳扩展状态，裂纹迅速扩展，轮齿断裂。

图3 裂纹的扩展

图4 应力强度因子K随裂纹长度a的变化

3.3 裂纹扩展寿命分析

将裂纹扩展过程中不同长度裂纹对应的K值代入式(5)，得到裂纹扩展长度a与应力循环次数N的曲线图如图5所示。由图可知，从疲劳裂纹产生至完全失效，齿轮使用寿命NC为15 278次。

图5 应力循环次数N随裂纹长度a的变化

4 裂纹扩展轨迹影响分析

对地铁闸机扇门齿轮裂纹产生与扩展有影响的因素主要有阻力矩、齿轮啮合位置、初始裂纹位置等。实际工作状态下两齿轮啮合产生的阻力矩变化范围为180～280 N·m。同一啮合位置，不同阻力矩大小下裂纹的扩展轨迹(包括裂纹的萌生位置与发展趋势)大致相同，不同之处在于阻力矩越大裂纹的生长速度越快。

4.1 不同啮合位置下的裂纹扩展轨迹

闸机扇门齿轮装配时存在误差或齿轮轴发生磨损后，两齿轮啮合位置将发生变化。啮合位置以旋转中心到啮合点的距离表示，变化范围为60.5～63.0 mm。图6所示为不同啮合位置时的裂纹扩展轨迹图，可以看出啮合位置不同，裂纹的生长速度也不同。随着啮合点向下移动，初始裂纹的产生位置逐渐向下移动，裂纹的发展方向逐渐从朝着齿顶扩展转向轮毂方向扩展，裂纹的生长速度也逐渐变慢。

4.2 不同初始裂纹位置下的裂纹扩展轨迹

由于齿轮材料本身存在的缺陷或者加工缺陷，可能会在齿根附近而非一般情况下的应力最大处产生初始裂纹。本文在齿根及齿根附近从上至下依次预制5处初始裂纹，如图7所示。初始裂纹a在齿廓上，初始裂纹b、c、d在齿根上，初始裂纹e在齿根圆上。线弹性断裂力学中以0.1～0.2 mm的裂纹长度为裂纹萌生寿命与裂纹扩展寿命计算时的界限，故初始裂纹长度取0.2 mm。阻力矩均为280 N·m，啮合位置均为齿廓中间，如图6中位置4。

图6 不同啮合位置时的裂纹扩展轨迹

图7 初始裂纹

图8为不同初始裂纹位置情况下裂纹扩展轨迹，可以看出初始裂纹位置越靠近轮毂，裂纹扩展轨迹越平缓。

图8 不同初始裂纹下的裂纹扩展轨迹

5 裂纹扩展寿命影响分析

在获得裂纹扩展规律后，对地铁闸机齿轮裂纹扩展寿命影响规律进行分析。

图9为同一啮合位置不同阻力矩下应力循环次数与裂纹扩展长度间的关系。可以看出载荷越大，裂纹扩展速率越大，齿轮的应力循环次数N越小，轮齿断裂时临界断裂长度越短，裂纹扩展寿命NC也越低。

图9 不同阻力矩下应力循环次数N随裂纹长度a的变化

图10为同一阻力矩不同啮合位置下应力循环次数与裂纹扩展长度的关系。可以看出随着作用力加载面从齿顶向齿根移动，齿轮可承受的应力循环次数N逐渐增大，裂纹扩展寿命NC也越大。

图10 不同啮合位置下应力循环次数N随裂纹长度a的变化

图11为不同初始裂纹位置下应力循环次数与裂纹扩展长度间的关系。可以看出裂纹5，也就是初始裂纹位置在齿根圆处齿轮的应力循环次数明显更高，其他几组无显著区别。

图11 不同初始裂纹下应力循环次数N随裂纹长度a的变化

6 基于逐步回归法的裂纹扩展与剩余寿命预估模型

建立了齿轮的剩余寿命预估模型后，就可以在对地铁闸机进行日常维修保养时及时发现齿轮产生的裂纹，并根据裂纹长度及使用情况快速获得齿轮的剩余寿命，将有利于闸机的保养和维修。本文将前述分析数据样本导入MATLAB中，对各个变量进行显著性检验，结果表明，初始裂纹位置与应力循环次数N的显著性大于0.05，可认为初始裂纹位置与应力循环次数N不相关。裂纹长度、啮合位置、阻力矩与应力循环次数N的显著性小于0.01，可认为三者与应力循环次数N极显著相关。故在后续分析中只分析裂纹长度、啮合位置和阻力矩对齿轮剩余寿命的影响，忽略初始裂纹位置的影响。

本文采用逐步回归法建立裂纹扩展与剩余寿命预估模型。逐步回归将变量逐个引入模型，每引入一个解释变量后都要进行F检验，并对已经选入的解释变量逐个进行t检验，当原来引入的解释变量由于后面解释变量的引入变得不再显著时，则将其删除。逐步回归分析仅保留对因变量有显著预测作用的自变量，剔除不显著的自变量，对导入的数据有过滤和筛选的功能。

齿轮的剩余寿命定义为NS=NC-N，设NS为因变量，自变量x1为裂纹长度，x2为啮合位置，x3为阻力矩。回归样本部分输入值见表1。

表1 部分回归样本

利用逐步回归法得到裂纹扩展与剩余寿命预估模型，调整后R方(adjusted R-square)为0.975，拟合程度较高。

(6)

利用蒙特卡罗法使x1在区间[0.2，3.6]内、x2在区间[60.5，63.0]内、x3在区间[3.0，4.5]内生成随机数，然后将这3组随机数代入式(6)中，得到裂纹扩展与剩余寿命NS的拟合值。图12为拟合值与仿真值的散点对比图，可以看出拟合值与仿真值相近，说明预测模型能较好地表示出真实裂纹扩展与剩余寿命。

图12 裂纹扩展与剩余寿命的仿真值与拟合值对比

利用灰色关联分析法对裂纹扩展与剩余寿命的参数进行灵敏度分析。首先对数据进行均值化无量纲处理，将因变量NS作为参考队列，3个变量作为比较队列，然后求出关联系数进而求出关联度，根据关联度即可将各变量对结果的影响进行排序。

r1= 0.767 2

r2=0.828 4

r3=0.823 4

r1，r2，r3分别为x1，x2，x3对NS的关联度，由r2>r3>r1可知，啮合位置对裂纹扩展与剩余寿命影响最大，力矩的影响其次，初始裂纹长度影响最小。

7 结束语

本文采用扩展有限元方法结合线弹性断裂力学理论，分析了齿轮在不同啮合位置、不同阻力矩和不同裂纹初始位置情况下应力循环次数与裂纹扩展长度间的关系，并采用逐步回归法建立了裂纹扩展与剩余寿命预测模型，对于闸机的故障监测、诊断和运行维护具有重要的实用价值。

本文的分析没有考虑影响因素的随机分布特性，下一步工作可采用随机分布模型，对裂纹扩展寿命的可靠性进行深入的研究。