叶片泵叶片相关几何要素的分析与计算*

杨 莹，黄宇欣，邹科杰，王 桃

（西华大学能源与动力工程学院，四川 成都610039）

扭曲叶片和圆柱形叶片是离心泵及混流泵等叶片泵的基本叶片形式。这两类叶片都具有形态复杂的二维或三维的表面，叶片的各种厚度和角度关系多样[1-3]。在叶片设计绘形的过程中，有时必须对叶片各种线性尺寸及角量进行换算，包括计算流面上的叶片安放角在某些特定平面上的投影角度，确定叶片表面与盖板表面的夹角[4-5]。尽管在一些相关的文献中，公布了某些应用型的计算公式[6-8]，但并未给出公式的导出过程，甚至对公式中的几何项说明也不够充分。在不理解公式来源的条件下，难以对公式产生深刻的认识和印象，也难以准确自如地应用它们。为弥补过去文献中的这一不足，课题组以数学分析为依据，较详尽地阐明了上述两种重要公式各项的几何意义及它们的相关关系，层次分明地导出公式的最终形式，由此帮助读者对公式反映的几何关系有更深刻的认识。

1 公式ctgγ=ctgλcosβ的推证

该公式用于计算叶片表面与流面（盖板表面）之间的夹角。

如图1所示，AD为叶片M与流面N的交线，轴面AEF与AD交于点A。由于轴面AEF与任一流面都正交，也一定与流面N正交，从而可在流面N内过点A作AG与轴面垂直，故AG是圆周方向。因此，∠GAD是流面N内圆周方向AG和叶片M与流面N的交线AD的夹角，即点A处叶片安放角β。

图1 叶片表面与流面夹角关系Fig.1 Relationship between blade surface and the flow surface

叶片M与流面N相交，得到交线AD。

流面N与轴面AEF相交，得到交线AF。

叶片M与轴面AEF相交，得到交线AE。

以上三条交线交于点A。

在AD上任意一点D作一平面垂直于AD，且交AD于D，交AE于E，交AF于F，可见DEF共面（垂直于AD的平面），线段EF位于三角形DEF所在平面内。

下面证明EF与流面N垂直：AD垂直于平面DEF，当然也垂直于平面内的线段EF，线段EF在三角形DEF所在平面上，也在轴面上，AG垂直于轴面，当然也垂直于轴面中的EF。这样，EF垂直于流面N中的AG和AD，AG和AD是相交线段，故EF垂直于流面N。所以在平面DEF中，∠DFE=π/2，ctgλ=AF/EF，∠λ定义为在轴面内看到的轴面与流面交线AF和轴面与叶片表面交线AE（轴面截线）的夹角。AD垂直于平面DEF，自然垂直于平面中的DF，cosβ=cos(π/2-α)=sinα=DF/AF。

在直角三角形DEF中，ctgγ=DF/EF，从而有结果：

∠γ定义为叶片表面与流面（盖板表面）的夹角。

分析式（1）可以得出：1）如果β=90°，即叶片表面与轴面重合，则cosβ=0，于是ctgγ=0，γ=90°，这时，不论轴面上λ等于多少，叶片都与流面（盖板表面）垂直。2）如果λ=90°，虽然β≠90°，图中γ也一定为0，即只要轴面上λ=90°，叶片都与流面（盖板表面）垂直。3）如果β≠90°（一般都不相等），轴面上λ≠90°，叶片与流面（盖板表面）一定不垂直。

2 公式tanβ平=tanβcosδ的推证

该公式用于计算流面上一个叶片安放角β与它在和叶轮轴心线垂直的一个平面上的投影角β平的关系。

如图2所示，叶轮轴心线垂直于N面，既然N面与叶轮轴心线垂直，它与流面M的交线是一个圆周AD，故∠EAD是流面M内叶片表面AEF与流面M的交线AE和圆周方向AD夹角，即叶片安放角β。

图2 叶片安放角与其在轴垂面的投影的关系Fig.2 Relationship between blade angle and its projection on a plane

圆周AD与任意一个轴面都正交，也与轴面DEF正交，故∠ADE=90°，tanβ=ED/AD。

轴面DEF包含了叶轮轴心线，在轴面内作EF’平行于轴心线，交N面于F’。由于叶轮轴心线与N面垂直，EF’也必然与N面垂直，且与N面内AF’、AD都垂直，于是三角形AF’E和轴面内三角形DF’E都是直角三角形，∠EF’A=90°，∠EF’D=90°。EF’、AF’都不在叶片内，AF’是叶片AEF和流面M的交线AE在轴垂面N上的投影，∠F’AD是叶片安放角β在N面的投影，即角β平，且有tanβ平=DF’/AD，cosδ=DF’/ED。

由图2可知，∠δ是在轴面内看到的，是轴面DEF与轴垂面N的交线和轴面DEF与流面M的交线的夹角。从而得到：

在文献[4]中，通过不同的推导途径，作者导出了tanβ平=tanβsinλ。这里角λ的含义已在上节作了说明，由于λ与δ互余，从而sinλ=cosδ，因而两个β平的表达式实质是一样的。

在本课题涉及的一些经典文献中，往往将图2中F、F’两点重合绘制为一点，AF和AF’重合绘制为一条线段。应当指出，这种简化并不恰当，因为叶片表面与N面一般不垂直。

3 结束语

在叶片泵叶轮的设计中，要经常性地换算叶片的局部相关线性尺寸及角度。叶片表面与前后盖板的夹角以及流面上叶片安放角在与叶轮轴心线垂直的平面上的投影角度，是两个重要的几何量，它们的相关关系复杂，计算有一定的难度。尽管过去的一些文献公布了应用型的计算公式，但并未给出公式的导出过程和应用条件，导致设计人员难以对两个公式产生深刻的印象，妨碍他们从根本上理性认识公式的几何内涵。为克服这一不足，课题组通过详尽的数学分析，给出了两个公式系统的推证过程，为叶轮设计人员提供了有意义的参考。