例谈向量法在求解几何习题中的应用

朱乃勇

摘 要： 本文通过对一组例题的分析讲解，主要探讨了如何利用向量法来求解几何习题的方法和途径。

关键词： 向量法;求解;几何习题

在数学教学中，培养学生的解题能力是教学的目的之一。解题教学不仅是帮助学生理解、掌握和巩固所学知识的手段，而且也是培养学生思维能力的重要途径。

向量在几何、代数和分析等众多领域里有着广泛的应用，使用向量法解题，构思巧妙，运算简单。本文仅就向量在求解几何习题中的应用作一粗浅的探讨，不当之处，敬请方家批评指正。

一、利用向量法求解平面几何习题

平面几何中的许多习题，尽管我们用其他方法也可以解决，然而，若合理地选择基本向量，再将所要解决的问题转化为用基本向量来表示，则运算过程会显得更为简捷明了，并且方法新颖。

例1：已知任意平行四边形，试证：（1）它的两条对角线的平方和等于各边的平方和。（2）它的面积等于以两条对角线为边的平行四边形面积的一半。（3）它的对角线互相平分。

通过以上例题的分析求解，我们不难发现向量法的主要思路是：（1）建立适当的坐标系并构造合理的向量;（2）充分利用向量的定义和基本性质;（3）熟练掌握向量的基本运算等。向量自身所具有的数与形的双重性使得利用向量解题更能充分体现数学中数形结合的思想，如果我们运用灵活，不但可以把比较复杂的几何思维转化为较为简单的代数运算，达到避繁趋简，化难为易的效果，而且也将有助于激发学生学习数学的兴趣及提高他们的解题能力。常常可以给他们带来“柳暗花明又一村”的感觉，从而体验到解题中的快乐。

注：为了让同学们进一步熟悉并掌握这种解题方法，下面留有几道习题，请同学们自己用向量法解答。

证明：三角形三条高交于一点。

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD中点，（1）求AE与D1F所成的角。（2）试证平面AED⊥平面A1FD1。

设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并說明它表示什么曲线。

参考文献：

[1]吴开朗.《数学题型设计与解法模式》江苏教育出版社1990.

[2]李广全、李尚志.《数学（基础模块）下册》（第一版）高等教育出版社2009.

[3]李淑文.《中学数学教学概论》中央广播电视大学出版社2002.