线性代数课程特点及概念浅析

司君如

摘要：对于非数学系的学生来说，大学数学课程中，线性代数是最为抽象的一门课，从初等数学到线性代数的思维跨度比到微积分和概率统计的思维跨度要大得多。很多本科生会觉得这门课很难理解，内容很抽象。本文從线性代数的三大基本概念出发，谈一谈在教学中如何由浅入深的引导学生理解这门课的核心思想。

关键词：线性方程组;矩阵;向量

《线性代数》课程是理工和经管专业的本科生的必修课，一般放在大学一年级开设，在大学里它不需要先修课程。线性代数在自然科学和技术领域有着广泛的应用，如计算机学、密码学、线性规划等都以线性代数为理论和算法的基础。十九大报告指出，“推动互联网、大数据、人工智能和实体经济深度融合”，如果想从事数据分析或深度学习（人工智能的子领域）等新兴行业，学好线性代数是先决条件之一。

纵观国内教材，涉及的内容一般包括线性方程组、行列式、矩阵、向量、相似对角化和二次型，有些教材会涉及到线性空间和线性变换。因为内容抽象和课时有限等原因，往往很难在授课中讲解线性空间和线性变换。一般我们可以把线性代数中的内容分成三个层次：1.线性方程组、行列式、矩阵、向量;2.特征值和特征向量、二次型;3.线性空间、线性变换。在难度上，这三个层次的内容是层层加深的。

从实际授课和学生学情来看，学生更擅长进行线性代数的数值计算，而对线性代数的理解往往不尽如意。因为就计算来说，《线性代数》只是规定了数字的算法或规则，这是连中学生也能胜任的事情。如果仅停留在计算层面，虽然应付考试没有问题，但是从长远来看，概念比计算更重要，很多考试得高分的同学仍然觉得并不能理解线性代数。在授课中，需要尽量从原理层和认知层去抽茧剥丝，向学生揭示一些底层的更本质的东西，而不是仅仅把定义告诉他们。

学生对线性代数的认知也可以分成三个层次。第一层次，线性代数就是解线性方程组，而向量、矩阵和行列式都为之服务;第二层次，线性代数的重点是向量，而向量是应用广泛的一个数学工具，如深度学习背后的核心数据结构是基于向量的;第三层次，线性代数是关于变换的，核心是线性空间以及它上面的线性变换。在不同的认知层次下，学生对概念的理解会不一样，随着认知层次的提升，对概念的理解也会更深入，反之亦然。

在实际授课中，如何尽量去提升学生的认知层次是一个很重要的问题。本文打算以线性代数的三大概念——线性方程组、矩阵和向量为例，谈一谈在教学过程中以提升学生的理解力为目标，如何向学生尽可能的展示线性代数深刻的理念和独特的思维方式，而不止于计算。

线性空间是研究空间里的向量（或点），线性变换是研究向量到向量的跃迁，线性变换是对线性空间里的向量进行作用，看看效果如何。我们从中学生都熟知的线性方程组出发，分成两种路径，最终这两个路径交织在一起。

本文以线性代数中的几个基本概念为例，探讨了教学过程中如何讲授概念和概念之间的关系，并将这种关系尽量深刻的传递给学生，让学生感受到线性代数作为现代数学的一个基础工具和语言，对支撑其它学科起到了不可忽略的作用。

参考文献：

[1]陈维新，线性代数简明教程（第二版），科学出版社，2008.

[2]同济大学数学系，工程数学：线性代数（第六版），高等教育出版社，2014.

[3]David C. Lay，线性代数及其应用（第三版），机械工业出版社，2005.

[4]Gilbert Strang， Introduction to Linear Algebra （4th Ed.）， Wellesley Cambridge Press，2009.

杭州电子科技大学教育教学改革研究资助项目，项目名称：卓越理工科《高等代数》教学创新研究与实践，项目编号：YBJG202148。