中线长定理的证明及应用举例

李秀元

摘 要：基于数学人教A版教材中的例习题分析，综合中线长定理的证明方法，展示不同知识在同一知识点上的魅力，并展开简单应用.

关键词：中线;余弦定理;距离公式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0049-02

一、中线长定理的内容、地位及证明

中线长定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是关于三角形三边和中线长度关系的欧氏几何定理.文字表述为：三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与该边中线的平方和的2倍.

如图示，设△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，AC，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，则：

b2+c2=2[（a2）2+m2a]，c2+a2=2[（b2）2+m2b]，a2+b2=2[（c2）2+m2c].

中线长定理在人教课标教材A版中一共出现三次，一次是《数学》必修5第一章《解三角形》20页习题13，作为余弦定理的应用，它突出了中线长的计算：△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，应用余弦定理证明：

ma=122（b2+c2）-a2，mb=122（a2+c2）-b2，mc=122（a2+b2）-c2

一次是《数学》必修2第三章《直线与方程》110页B组习题7，以解析法的形式，突出了中线长与三角形三边的关系：

已知AO是△ABC边BC的中线，求证：

|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

第三次是《数学》必修2第三章《直线与方程》105页例4在两点间距离公式的应用基础上，给出了平行四边形的性质，也可以理解为中线长定理的变形式：

证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

下面用不同方法证明如下：

证法1 应用余弦定理（只证第一式，其余同理）.

如图示，在△ABD中， cos∠BDA=BD2+AD2-AB22BD×AD，在△ADC中， cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD×DC，因为∠BDA+∠ADC=180°，所以cos∠BDA=-cos∠ADC，即BD2+AD2-AB22BD×AD=-AD2+DC2-AC22AD×DC.

所以BD2+AD2-AB2=-AD2-DC2+AC2，即2（AD2+BD2）=AB2+AC2.

所以b2+c2=2[（a2）2+m2a]，整理得ma=122（b2+c2）-a2.

证法2 综合应用平面向量知识和余弦定理.

因为D为BC的中点，所以2AD=AB+AC，两边平方得4AD2=AB2+AC2+2AB·AC.

又在△ABC中，2AB·AC=AB2+AC2-BC2.

所以AD2=12（AB2+AC2）-（BC2）2，即m2a=12（b2+c2）-（a2）2.

证法3 解析法.

如图，以BC边的中点为原点，边BC所在直线为x轴建立直角坐标系.

设C（c，0），A（a，b），则B（-c，0）.

|AB|2=（a+c）2+b2;|AC|2=（a-c）2+b2;|OA|2=a2+b2;|OC|2=c2.

所以，|AB|2+|AC|2=（a+c）2+b2+（a-c）2+b2=2（a2+b2+c2），

2（|AO|2+|OC|2）=2（a2+b2+c2）.

因此，|AB|2+|AC|2=2（|AO|2+|OC|2）.

二、中线定理的简单应用

例1 Rt△ABC中，斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作直径为n（n<m）的圆，分别交BC于D，E两点，则|AD|2+|AE|2+|DE|2的值为（）.

A. m2+3n22B. m2+n22 C. 3m2+n22D. m2+3n2

解 如图3所示，在△ADE中应用中线定理，得AO2=2AD2+2AE2-DE24，即（m2）2=2AD2+2AE2-DE24，所以|AD|2+|AE|2=m2+n22.

从而|AD|2+|AE|2+|DE|2=m2+n22+n2=m2+3n22，选A.图3

例2 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2+|PB|2|PC|2=（）.

A. 2B. 4C. 5D. 10

解 如图4所示，|PC|=|PD|=12|CD|=14|AB|.

在△PAB中，应用中线定理，有2（|PA|2+|PB|2）-|AB|2=4|PD|2，故2（|PA|2+|PB|2）=|AB|2+4|PD|2=20|PC|2，选D.

说明 以上两题建系求解一样可行，而应用中线长定理则是不错的选择.

例3 在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP|<12，则OA的取值范围是（）.

A.（0，52] B.（52，72] C.（52，2]D.（72，2]

解 由|OB1|=|OB2|知，点O在线段B1B2的垂直平分线上，如图5所示，设矩形AB1PB2对角线的交点为M，则MB1=MB2，且OM⊥B1B2.

在△AOP中，根据中线定理得2（OA2+OP2）-AP2=（2OM）2，而OM2=1-MB21=1-14B1B22=1-14AP2，所以2（OA2+OP2）=4-AP2+AP2=4，即OA2+OP2=2，又|OP|<12，故OA∈（72，2].

说明 本题作为13年高考重庆卷的选择压轴题，有其把关和选拔功能，是一道难题.虽然有垂直关系，有长度，可以建系求解，但计算麻烦，短时间内会逼得学生放弃.应用中线长定理直接将目标和已知条件联系在一起，解题干净利落，值得欣赏.

例4 已知P（a，b）为圆x2+y2=1内一个定点.作直线PA⊥PB，分别交圆于A，B.以A，P，B为三个顶点作矩形，求矩形的第四个顶点Q的轨迹.

解 设矩形PAQB的对角线PQ、AB相交于点M，连接OP，OM，OQ，OA，OB.在△OPQ和△OAB中，分别应用中线长定理得，

OP2+OQ2=12PQ2+2OM2=12AB2+2OM2=OA2+OB2=2.

所以OQ2=2-（a2+b2），则点Q的轨迹为圆.

例5 已知m，n是兩个非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，则|m+n|+|n|的最大值为（）.

A. 5B. 10C. 4D. 5

解 因为m+n=（m+2n）+m2，n=（m+2n）-m2，以m、|m+2n|为邻

边作平行四边形，即OA=m+2n，OB=m，如图7所示，则OD=（m+2n）+m，BA=（m+2n）-m，从而OC=m+n，CA=n，因此，|m+n|+|n|可表示为|OC|+|CA|.

由中线长定理或平行四边形的性质，可得|OC|2+

|CA|2=5，根据不等式a+b≤2（a2+b2）（a，b为正数），得到|OC|+|CA|≤2（|OC|2+|CA|2），即|m+n|+|n|的最大值为10.

说明 本题的综合较强，考查了向量的加减法，向量模的几何意义，中线长定理，以及基本不等式等知识，难度较大.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学2（必修·A版）[M].北京：人民教育出版社，2007（3）.

[责任编辑：李 璟]