概述力学在小提琴研究上的应用（上）

韩玫瑰 曹小建

摘要：小提琴的演化过程离不开力学的贡献，其中的力学应用也推动着该学科的进步。材料力学中的弹性模量、本构方程为小提琴选材及制作提供了依据，弦及弓的选材依赖承力强度，弓还与材料弯曲变形后的弹性恢复能力相关。弦与弓的互动为振动力学中的粘滑振动模式。弓施力区间在Schelleng给出的[Fmin，Fmax]内时可较好地激励亥姆霍兹运动，从而带来连续且悦耳的乐音。人琴整体符合理论力学的动量矩守恒定律。演奏时肩关节放松给予手臂足够自由度，主要靠肘关节、腕关节和手指施力。借助生物力学对演奏者关节角度及运动幅度的习惯性分析，可辅助诊断关节损伤并提出矫正或治疗方案。

关键词：小提琴  材料选择  弓弦交互作用  振动力学  生物力学

声音的产生和传播是典型的力学问题。音乐进化的过程中也离不开科学家们在力学领域的贡献，比如大家耳熟能详的伽利略、牛顿、伯努利、达朗贝尔、亥姆霍兹和韦伯等，中国古代人物管仲、沈括和朱载堉等也有各自的理论成果。小提琴被誉为西洋乐器中的“皇后”，其特点是音色美、音域宽、音质正，是现代交响乐队中的支柱。在小提琴的选材、运弓法、人弦交互、演奏者骨骼发育等方面，力学研究成果起着指导作用，而且这些研究同样反哺着科学本身。本文就应用力学在小提琴上的研究成果进行归纳，以期更优选材、辅导施力、规范演奏姿势。

一、材料力学参数的影响

小提琴本体结构及琴弓共有30多个零部件，本体包括琴头、弦轴箱、弦轴、琴颈、指板、面板、侧板、背板、琴弦、琴码（琴桥）、音柱、拉弦板、腮托和系弦柱等，琴弓包括弓杆、马尾、马尾箱和螺丝。随着科技的进步，部分结构选材范围逐渐变窄，也有些部件最多能看到多达10余种材料的商品。材料和结构性质的选择会影响乐器的音质，所以其选材需要严谨的科学指导。

（一）共鳴组件

面板现在常选择质地偏软的云杉制作;琴头、琴颈、侧板和背板，会选择较硬的枫木;指板则会选用更硬的乌木。制作琴弓最上乘的巴西红木一直面临着必须省着用和如何持续的问题。Fletcher[1]和Bucur[2]等对于乐器选用的木材分别进行过论述，给出了一些建议，但在东西方木材特性区分及乐器结构细部选材上还有很多研究空间。普遍认为木材依据传声速度c、音响阻抗z、辐射阻尼R和衰减因素η这四个指标来定，它们的计算公式从上往下依次见公式（1），前三式中E为材料弹性模量，ρ则是材料密度。由公式可见，声速、阻抗、辐射阻尼均与弹性模量的方根呈正比例关系。

弹性模量宏观上反映了材料抵抗弹性变形的能力，微观上则是揭示了材料内部分子键合力的强弱。从力学的角度，木材属于典型的各向异性材料，沿木纤维方向（顺纹）的拉伸性能远大于垂直于纤维方向（横纹）的拉伸性能，另一方面垂直于纤维方向的抗剪切性能和压缩性能又高于顺纹方向。广义胡克定律中的杨氏弹性模量、切变模量和泊松比这三个物理量在顺纹方向、横纹径向、横纹弦向均不相等，需要通过小块试样分别测量。以西洋乐器常用的高弹性低密度云杉为例，其顺纹方向弹模EL约11.58GPa，横纹径向弹模ER为896MPa，横纹弦向弹模ET最小仅496MPa左右。顺纹方向的弹性模量比其他两个方向高两个数量级。因此，声速在顺纹理方向最大，约为横向声速的10～20倍。另外木材中的管状细胞空隙和本身的弹性也便于声音的传播。木材的阻抗表示了材料对声波的反射能力和折射能力。通常希望共鸣箱具有较大的辐射阻尼。从均匀性角度看，乐器用材最好顺纹径切且以顺纹方向作为共鸣板长度方向。辐射声波时，材料内部分子摩擦会引起振动能量的损耗，Newland[3]提出了公式（1）中的第四式，Q为测得的材料衰减特性参数，δ为对数衰减率，ψ为亏损角。由公式可见声音的衰减与弹性模量和密度无关。乐器材料的损耗越低越好，较小的含水率会更有利于较少声音衰减，乐器上用的木材含水率一般控制在10%以内。从利于声音的传播角度，倾向于选用辐射阻尼大、阻抗和损耗小的木材制作共振板;共鸣箱板壁则优先选择辐射阻尼小、阻抗大、便于声能汇聚反射的材料[4]。

光测弹性力学方法是一种实验应力分析方法，曾广泛应用于较复杂的工程构件应力状态。该方法主要用来判断应力集中区域和描绘结构三维内部应力，一般用光程差来确定主应力。Molin等采用双脉冲红宝石激光器作光源结合全息干涉技术分析了拱形小提琴面板的瞬态弯曲波（如图1所示），包括云杉面板和枫木面板[5]。并与矩形吉他平面板进行对比。从给定高度对板进行钟摆冲击，撞击点控制在小提琴板桥位和吉他面板中心。结果表明，木材中传播脉冲的形状随时间变化，呈现典型板中弯曲波传播特性。波传播的形状图案为若干嵌套椭圆形，与小提琴面板中央部位任意水平切面形状近似，吉他板也为嵌套椭圆形波纹。说明小提琴面板目前采用的形状较圆形更合理。综上所述，好的小提琴很大程度上取决于形状控制和材料选择。

（二）弦与弓

古人以弦长来度量音高，公元前600年前后中国和古希腊几乎同时认识到了三分损益和五度相生的规律[6-7]。文艺复兴时期，科学家们提出声音的高低跟振动频率相关并通过实验加以验证，最终得到了公式（2）中最前面成正比例关系的经验公式，继续总结才得到后两个等式计算方法。其中f为弦的振动频率，T为琴弦张力，ρ为琴弦密度，l为弦长，μ为单位长度的质量，σ为弦受拉时截面正应力。对指定长度的弦，它的最大可能频率取决于材料本身的拉伸或屈服强度。弦上施加的张力既不能太紧也不能太松，小提琴单根弦张力一般在70～90N，木制琴身基本足够支撑四根弦共约300N的总张力。弦绷紧以后，会产生轴向拉伸变形，从理论力学静力平衡角度构成超静定结构，需要考虑变形协调问题。对于有四根弦的小提琴，不能一根一根依次调音，而是应先将整体松紧程度调到差不多再微调。

小提琴的琴弦材料历经肠、生丝、尼龙和钢丝，表1列出了它们的力学参数[8]。前三种材料具有相似的密度，金属弦密度大约是它们的6倍，算下来肠弦、丝弦和金属弦的最高频率差不多，尼龙弦频率要高出约50%。小提琴E弦最细，从结实耐用的角度一般是直接用裸金属丝制造。在松紧度相当时，弦的振动频率与密度的平方根成反比，因空弦低八度的规律，其直径要增大一倍。材料力学中，金属杆件直径加倍后的抗弯刚度会变为之前的8倍。此时的弦若继续采用裸金属弦，将大大降低其柔韧性。因此，小提琴上的低音弦常在裸金属线外缠细金属丝。

18世纪后半叶弓的形状逐渐由上凸弧线变为了轻微下凹。竹木由直到曲要经历反复火烤，但一段时间后其弯曲变形减小会降低弓的承载力。影响弓品质的因素极为复杂，但承载力大（强度高）的弓一般表现力更好。玻璃纤维弓没有变形问题，但因其中空质量较清，常在两端置入金属，重心的把握上较难。巴西苏木从强度、密度、变形等角度看是目前的制弓上品。

参考文献：

[1]Fletcher NH，Rossing TD.The physics of Musical Instruments[M]，2nd edition.Springer-Verlag，New York，1998.

[2]Bucur V.Acoustics of wood[M]，2nd edition.Springer-Verlag，Berlin，2006.

[3]Newland DE.Mechanical vibration analysis and computation[M].Harlow，UK Longman，London，1989.

[4]Yoshikawa S.Acoustical classification of woods for string instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2007，122（1）：568-573.

[5]Molin NE，Jansson EV.Translent wave propagation in wooden plate for musial instruments[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1989，85：2179-2184.

[6]武际可.丝竹背后话力学[J].自然杂志，2015，31（5）：355-361.

[7]刘延柱.漫话音乐中的力学[J].力学与实践，2011，33（3）：91-94.

[8]Wegst UGK.Bamboo and wood in musical instruments[J].Annual Review of Material Research，2008，38：323-349.

（待 續）