一线三等角几何模型在数学解题中的探究

摘 要：数学在初中教育中占据着非常重要的地位，几何是数学最基本的研究内容之一。因此，初中数学教师要注重培养学生的几何思维和几何能力。近年来，一种几何基本模型随着江苏省的一道中考题受到了人们的广泛关注——一线三等角几何模型。本文将从以下三点阐述一线三等角几何模型在数学解题中的运用。

关键词：初中数学;几何模型;一线三等角;解题探究

中图分类号：G427                                 文献标识码：A                                       文章编号：2095-9192（2021）17-0061-02

引  言

数学模型是指把一种事物的特征和关系高度概括抽象，用数学中独有的语言描述出来的结构[1]。数学模型对学生学习数学提出了更高的要求，加之新课程标准要求教师培养学生的数学敏感度和符号、空间、集合、运算等观念、思想和能力，因此，数学模型成为数学教学的重中之重。教师在教学中应善于从整体出发，重点讲授建立数学模型和求解的过程，引导学生领会其中的模型思想。

一、引导拓展探究

2011年江苏省盐城市的一道中考题引发了教师的思考。教师在教学一线三等角几何模型时可以将这道问题呈现给学生，然后让学生展开相应的探究，最后进行拓展延伸。整个过程中，教师需要引导学生逐渐深入，使学生对这一模型的理解呈螺旋式的上升趋势，进而逐渐掌握这个模型，题目如下所示：

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A'C'D，如图1所示，将△A'C'D的顶点A'与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋轉，使点D、A（A'）、B在同一条直线上，如图2所示。

观察图2可知：与BC相等的线段是 _________，∠CAC'=_________°。

问题探究：

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。

拓展延伸：

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。

问题探究的部分，教师可以根据学生的实际学习情况选择出题。在△ABC中，AG与BC相互垂直交于点G，在此基础上以点A为直角顶点，以AB、AC两条边为直角边，向三角形ABC外作等腰直角三角形，过点E、F做射线GA的垂线（见图3），垂足分别为P、Q，让学生自主探究EP和FQ之间的关系。之后，教师根据学生的做题情况和思考情况进行拓展延伸。在解析时教师可以先让学生进行情景观察，根据两个三角形相似，非常容易就可以得到两条相等的线段及一个直角，这样便可以顺利开展教学。问题探究部分的题目类似，同样运用相似三角形得到两条相等的线段，进而同理得到另外两条相等线段，最后就可以得出结果。拓展延伸部分的教学和解题方法同上。在此过程中，教师要注意先给出学生第一道题目，然后让学生独立思考，判断学生的答题情况后再给出问题探究的题目。因此，教师需要提前准备多道备选题目，以便即时做出调整。但三个问题之间的难度一定是逐渐递增的。学生能够不断突破自己的心理认知，从而展现自己的能力。教师可以给学生画出具体的图形，也可以让学生自己画，这样可以考查学生的空间几何能力，让学生自己动手操作，从而提高数学解题的乐趣，体现自主探究的思想。在解题之前，教师也可以让学生尝试猜想，在猜想的基础上探寻解题过程，可以大大提升学生的数学解题能力和几何的学习体验。

二、建立相应的模型

在问题情境与拓展的基础上，教师要给学生建立一线三等角的模型，让学生脑海中可以对这个模型形成明确的认知，并对这个模型进行整体上的讲解，最后进行变式的拓展和应用。在拓展和应用部分，教师可以给出比较经典的例题，让学生活学活用。

三、构造转化模型

围绕一线三等角模型的题目非常多，而且难度较高。因此，基本的模型学习远远不够。教师可以在上课时对例题进行精心讲解，对学生的思路进行引导。

教师可以让学生观察图形，然后通过折叠的性质可以发现三个直角三角形，可以构成一线三等角的基本模型。学生发现一线三等角后便能顺利解题。教师点题式的讲解，能够为学生解题提供良好的思路，可以让学生尝试用铅笔在原图形上面画出一线三等角模型，然后在完成第一道题的基础上发现第一题的结论可以帮助解决第二道题，但第二道题对学生来说有一定的难度。教师可以引导学生思考：求解三角函数值可以转化为什么？学生认为可以转化成线段比，可以利用相似和折叠的条件，但还要学会引入未知数。经过这道题，学生基本上对这一模型有了更为深入的了解，但与灵活运用模型仍存在一定差距。因此，接下来教师可以给学生出一些隐形模型的题目，进行构造转化。2011年的安徽卷、浙江卷中也出现了类似的题目，这道题的得分率非常低，但考查的也是一线三等角模型。如今，中考题注重考查学生的综合能力，将其与二次函数、全等三角形等知识点相结合，这就要求教师善于总结，引导学生彻底掌握一线三等角模型。

结  语

综上所述，在教学一线三等角模型时，教师要注重培养学生的数学思维，切忌过分强调建模的结果而忽视过程。教师应引导学生不断探索，避免学生过分依赖某几种解题方法，要使学生学会举一反三，练就火眼金睛。与此同时，教师要引导学生善于发现和创造，对学过的数学知识和方法不断内化，直至熟练掌握，进而延伸拓展到其他内容，巩固基础知识，这样才可以真正提升学生的数学学习水平。

[参考文献]

李广伟.注重基本图形教学 提升学生解题能力：以“‘一线三等角’基本图形及其应用”教学为例[J].江苏教育，2017（43）：36-37.

作者简介：陈丽冰（1974.9-），女，福建莆田人，本科学历，一级教师，研究方向为几何模型教学。