圆锥曲线起始课

唐海燕

摘要：本文利用几何画板动态探究，解释了圆锥曲线名称的由来，激发学生学习圆锥曲线的浓厚的兴趣，为后续的学习建立一个良好的基础。本文是笔者在市级课题《信息技术与高中数学课程内容整合的案例开发》（课题编号MZJ1901）的研究中，针对圆锥曲线的起始课教学所作的一些探索和尝试，供读者参考。

关键词：圆锥曲线截口曲线几何画板

一、课堂引入

学生们对椭圆、双曲线、抛物线这三类曲线名称应该都不陌生，在课堂上笔者让学生说说对这些曲线的认识？得到了很多的回应：二次函数的图像是抛物线;反比例函数的图像是双曲线;压扁的圆是椭圆;有些拱桥象抛物线;圆的直观图是椭圆;物理中，平抛，斜抛的物体的运功轨迹是抛物线等等。

课本上把椭圆、双曲线、抛物线合称为圆锥曲线。为什么把这三类曲线合称为圆锥曲线呢？这个平面问题为何借助空间几何体命名呢？通过教师的引导，学生自然的想到了：通过平面截取空间几何体来观察截口曲线形状实现空间到平面的联系。

截口曲线的定义：用一个平面去截一个几何体，所得到的截面与空间几何体每个表面相交线所围成的图形我们称为截口曲线。用平面截一个几何体所得截口曲线的形状一般与下面两点有关：（1）几何体的形状;（2）切截的方向和角度。

二、实物展示

通过实物展示给学生一个具体的感官认知，鼓励学生课下仔细观察教具。

三、利用几何画板软件动态探索

我们通过控制两个圆心角的大小来调整截面的倾斜角度和水平角度。选中蓝色圆上的点，在圆上进行拖动，就可以改变截面在平面的角度，从而观察不一样的截面图。选中红色圆上的点，在圆上进行拖动，就可以改变截面的水平角度。在改变平面角度时，下方的圆锥正视图也会随着改变。记轴线与母线成 （本文中取 ）的对顶锥，轴线与不经过顶点的截面所成角为 。

我们熟知，垂直于轴的截面，即 時 截口曲线是一个圆，那么截面不垂直于轴时又会是什么图形呢？下面通过动态探究，来观察截面的形状。教学过程中可反复操作让学生观看，也可找学生来操作，让学生尝试总结结论。（注：对学生能力较好的班级，可以展示双球的实物模型，为下一届椭圆的定义做铺垫。）

引导学生总结结论：

（1） ，截口曲线为圆;（2） ，截口曲线为椭圆;

（3） ，截口曲线为抛物线;（4） ，截口曲线为双曲线。

探究过程中需要注意：当截面经过顶点时，截口曲线为一个点，或两条相交直线。

四、课后反思

（1）本节课课堂引入的学生提到的知识点均可在后续教学中得到逐一验证。

（2）除了几何画板，也可以使用geogobra软件，flash软件等进行探究，也可以利用网络现有的视频资源等多种现代信息化的方式展示。

（3）在教学中也可以适当穿插关于圆锥曲线的发展历史，渗透数学文化。

参考文献：

[1]魏志雄、王豫黔 几何画板数学课件制作实例教程，人民邮电出版社。