连跨悬索桥中间钢塔双重非线性极限承载力研究

刘小林

(中铁大桥勘测设计院集团有限公司 武汉 430056)

极限承载力和稳定性不但反映结构的运营安全性，也是工程设计和计算的重点及难点。桥梁结构极限承载力分析的实质是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的刚度方程，寻找其极限荷载的过程[1-2]。目前桥梁极限承载力常用的分析方法有：线性屈曲法、几何非线性分析法及同时考虑几何和材料非线性的双非线性分析方法。通过对极限承载力的模拟，可以呈现极限状态下的倒塌模式，发现结构的薄弱点、薄弱截面或薄弱构件，进而有针对性地补强和提高，以达到全桥各个构件和部位安全系数基本一致的目的。本文结合智利查考桥初步设计方案中的中间钢塔，通过不同荷载工况下双重非线性分析，从塑性铰的形成机理出发，提出在有限元全桥倒塌仿真分析中通过屈曲点和屈服点先后关系识别破坏诱因及失效模式的方法，对悬索桥中间钢塔的失稳机理和相对薄弱部位进行分析，并提出相应的补强措施，以增加运营阶段的结构安全性。

1 方案概况

随着连跨悬索桥的兴起，由于其能适应特殊的地形环境，不但造型美观，且造价方面具有较大的竞争优势，在世界各地均有较多的推广建造，由于连跨悬索桥中塔刚度大、受力复杂，其极限承载力得到了广泛的关注。本文选取的研究对象为智利查考大桥初步设计方案，其总体布置为三塔悬索桥，跨度为140 m+1 055 m+1 100 m+339 m =2 634 m，中塔采用顺桥向为人字形的钢结构塔，边塔为钢筋混凝土塔，加劲梁采用扁平闭口钢箱梁。悬索桥方案布置见图1。

图1 悬索桥方案总体布置图(单位：m)

该方案为三塔双主跨悬索桥，中间钢塔承受主缆传递的很大的恒载轴力，在单主跨满布活载等极限偏载情况下又可能出现较大弯矩。由于缺乏刚度较大的边索约束，塔顶纵桥向刚度相对较弱，在大轴力或轴力、弯矩组合作用下可能发生多种局部屈曲、整体屈曲及材料屈服的破坏模式，造成数值分析困难，正确识别其发生破坏的诱因和失效模式是有针对性地提高其全桥极限承载能力的关键。

本次分析的重点为中间钢塔的极限承载力，所以忽略边塔混凝土的材料非线性状态，仅仅考虑中塔钢材的材料非线性，假定边混凝土桥塔不会因为达到极限承载力而退出工作。由于本次计入中塔的双重非线性，所以不考虑由于焊接残余应力带来的材料强度折减。由于缺乏确定的统计规律，忽略由于施工误差造成的折减，这是因为：①施工误差在全桥所有构件均存在，无法定量评估；②极限承载力分析旨在从设计的角度，考虑理想设计状态下的薄弱截面或构件的薄弱部位，以便有针对性地进行补强，达到全桥安全系数基本一致的目的，而不是计算由于施工误差对结构造成的损伤。因此，可以不计入施工误差的影响。

2 全桥计算模型和荷载工况

本文采用大型通用有限元软件建模，计算中考虑了几何和材料双重非线性，利用有限元软件ANSYS，中间钢塔采用可以考虑大变形的4节点平面壳单元，其他部分采用杆系模型，悬索桥全桥模型见图2。

图2 悬索桥总体模型

除了材料非线性外，悬索桥的几何非线性主要考虑由于垂度效应、梁柱效应、大变形产生的几何非线性，通过考虑几何非线性和材料非线性的双线性模型分析，对桥塔的极限承载能力进行评估[3]。考察构件在平截面假定失效情况下的工作模式、结构的极限荷载，以及安全系数，寻找中间桥塔的破坏模式和倒塌模式以判断桥塔的薄弱部位，通过桥塔局部屈曲和整体屈曲模态，确定截面破坏的形式，为截面进行分类提供依据。

因为中间人字形钢塔是本次分析的重点，所以进行精细壳元建模，其他部位采用杆系单元组建全桥建模。桥塔构造采用三维强非线性板壳单元(Solid181)模拟，Solid181单元是ANSYS针对弹性壳元不足开发的高级单元，本单元特别适合于分析具有线性、大角度转动和/或非线性大应变特性的应用问题，能够模拟结构从线弹性到结构完全塑性的全过程；吊杆采用杆单元(Link8)模拟；钢加劲梁和边PC桥塔均采用三维梁单元(Beam4)进行模拟；主缆采用只受拉单元(Link10)模拟。中塔模型离散图见图3。

图3 悬索桥中间钢塔离散图

随着有限元计算软件的普及，关于极限承载力分析的研究较多[4-5]，研究成果主要在加载方面有所差异，有的研究采用的是恒载和活载同时倍增的计算方法，有的采用的是恒载不变，活载单独倍增的方法。本文认为均有道理，恒载和活载同时倍增，对于悬索桥受力分析更有意义，因为悬索桥的结构刚度很大一部分是来自于重力刚度，如果恒载倍增，可以改善主缆的应力刚度，进而更能保证结构在极限状态下的计算收敛，缺点是，在设计阶段，由于主缆的施工和受力状态可以较好地保证，因此主缆的安全系数往往在2.5～3之间，然而桥塔等其他构件的安全系数均大于这个数值，于是很难捕捉到桥塔的失效。恒载不变，单独倍增活载，可以得到一些偏载工况下的主塔极限承载力，缺点是由于主缆的重力刚度增加不多，所以结构变形偏大。再综合考虑双重极限承载力分析主要是寻找全桥结构的薄弱点，因此，本文综合考虑了2种荷载倍增的方法进行计算。由于不需要重新建模，计算成本增加并不多。

计算中采用增量迭代的牛顿-拉斐逊方法，屈服判断采用von Mises屈服准则，不考虑恒载和活载同时倍增的模式加载，而是采用表1中9种模式加载。

表1 加载模式

续表1

3 薄壁结构分析方法

只有通过极限状态的分析和对倒塌过程的模拟，才可以反映构件的整体和局部失效过程及更好地反映他们之间的先后关系[6]。取图4所示的简单薄壁结构为例，利用虚功原理建立结构达到承载能力极限状态时的平衡方程见式(1)。

图4 轴力和弯矩作用下的简单薄壁结构

(1)

式中：ψ为内力和外力的矢量总和；f1为所有荷载列阵；dδ为虚位移，dε为虚应变。如果对应于一般的线弹性关系，则

dψ=(K0+Kσ+KL)dδ=KTdδ

(2)

式中：K0为小位移的线性刚度矩阵；Kσ为几何刚度矩阵；KL为大位移矩阵；KT为切线刚度矩阵。

平衡微分方程中包含了几何矩阵和大位移矩阵，可见对于薄壁结构而言数学上的困难是由于几何非线性和材料非线性及整体和局部屈曲带来的，往往需要忽略其中一项或者几项来近似得到工程师想要的结果。线性屈曲、非线性屈曲、双非线性分析是根据对式(2)的简化程度不同而定义的。

线性屈曲分析忽略了大位移矩阵，理论上假定当外荷载达到结构的临界荷载时，虽然应力水平并不高，但是在小的扰动之下，结构便会发生突然的弯曲而进入不平衡状态，尽管荷载不变，结构的变形却继续增加，最终达到破坏。计算时假定结构在加载的各个阶段总认为结构在未加载的原始位置上产生平衡，当屈曲发生时，结构突然跳到另一个平衡位置。线性屈曲分析，是一个广义特征值问题，而结构的平衡实际上是在结构发生变形后达到的。

因此实际结构从一开始就出现了几何非线性的特性，要进行非线性屈曲分析。非线性屈曲如图5中曲线所示，当荷载比例因子增加时λ-δ曲线是非线性的，最终达到极限荷载失去承载力。在加载过程中，结构在不断更新的位形上达到平衡，当达到极限荷载时，结构失去承载力。对应的平衡方程为

图5 考虑几何非线性的荷载曲线

(K0+Kσ+KL)dδ=0

(3)

上述方程式是按照材料完全弹性的条件建立的，求解过程中仅考虑了各种几何非线性的影响。实际结构中，在进行非线性屈曲分析时，随着材料应力的增加，应力-应变不再是线性关系，而符合如下的非线性方程

σ=[Dε(ε-ε0)]+σ0

(4)

式中：Dε为结构位移矩阵；ε0为初应变矩阵；σ0为初应力矩阵。

当应力达到一定水平，虽然分支点失稳还没出现，但构件的边缘纤维开始屈服，当荷载继续增加，由于塑性区的向外扩展，结构内部纤维的屈服发展加快，最终形成塑性铰导致结构破坏。于是在非线性屈曲中，便出现了第二类稳定问题，即极值点失稳。

4 中间钢塔极限承载力分析

极值点失稳见图5所示。整个加载过程中的薄壁结构的λ(满载比例因子)-δ曲线可以分为3个阶段，I)线性阶段，即没有局部的屈曲也没有材料非线性；II)非线性阶段，材料进入非线性或者发生屈曲；III)失效后阶段，塑性铰形成，结构丧失承载能力。对于薄壁构件进行材料和几何双重非线性分析时，无论是失稳破坏还是强度破坏，都将导致大变形和塑性区的发展，因此从破坏后的状态无法识别破坏的产生原因。

通过观察构件屈曲和材料屈服先后关系可将塑性铰按形成诱因分为3种类型。类型一、屈曲诱因型：当达到屈曲失稳荷载时，边缘纤维的应变还没有达到屈服强度；屈曲导致的局部大变形和大应变，最终导致材料屈服形成塑性铰。类型二、临界类型：边缘纤维进入屈服时恰好达到了结构的屈曲荷载。类型三、屈服诱因型：部分边缘纤维首先屈服，屈服逐渐扩展，最后全截面达到屈服状态，形成塑性铰。

经计算得到中间钢塔各个工况荷载安全系数见表2。

表2 悬索桥中塔失稳形式和稳定系数

由表2可知，安全系数最小的是工况六，整体失效模式为由于单跨荷载的增加，桥塔受到不平衡弯矩的作用，在这个作用下，塔肢单侧的外侧钢板受到很大的面内压力，最终局部板段携带着内部加劲肋一起变形，首先形成局部屈曲进而发展成为截面塑性铰，导致构件最终丧失了承载力。目前规范中并未就极限荷载的稳定系数给出界定，主要是因为正常使用和承载能力极限状态均不允许结构出现以致倒塌的受力状态，或者说目前不能以此水准作为设计的依据。因此，关于合理的极限状态的稳定系数规范值尚无确定标准。本文未对结构失效后荷载曲线的下降段进行分析，作为一般的土木结构，结构屈曲后失效模式不太重要，关于此时结构的力学行为，有待进一步研究。

双重非线性极限承载力分析的安全系数常常比弹性屈曲分析得到的安全系数低的多，这主要是因为在线弹性分析中，材料非线性的影响往往是被忽略的。另外，弹性屈曲分析是利用几何刚度矩阵进行的特征值运算，并不能考虑结构在发生初始变形后的刚度改变，比如局部屈曲的影响和P-Δ效应的影响等，因此会出现弹性屈曲分析安全系数较高的问题。到目前为止，对于一个构件来说相对容易分析，但是对于悬索桥这种由多种单元组成的结构复杂的体系，还缺少研究专门论述这2种屈曲安全系数之间的定性关系。

5 结论

本文以薄壁结构极限承载力的计算原理为基础，分析了三塔两主跨悬索桥中间人字形钢塔的极限承载力。利用有限元软件ANSYS建立全壳单元的中间钢塔并用杆系建立其他构件的全桥空间有限元模型，考虑恒载和活载分别倍增的方式，采用考虑双非线性的增量迭代牛顿-拉斐逊方法计算中间钢塔的极限承载力。主要结论如下。

1) 计算得到各种工况下悬索桥中间钢塔极限承载力稳定系数，并通过对失效模式和失效诱因的分析，找到结构需要加强的薄弱部位和失效模式，为结构的优化设计提供依据。

2) 采用通过活载单独倍增的方式对结构外力的安全系数进行模拟，进一步分析结构的薄弱环节；恒载和活载一起倍增的方式计算结构的安全系数，中间钢塔失稳时，主缆等其他传力构件也几乎达到极限强度，从一定意义上说明全桥强度配置合理。

3) 横向风荷载作用下结构失稳是由于上横梁下缘处塔柱内侧壁板达到屈服强度开始的，属于屈服诱因形成的塑性铰。加大屈服开始部位的壁厚可以有效减小局部应力，提高整体结构的运营安全系数，可以通过较小的代价实现大幅提高结构安全系数的目的。

结构失稳后的强化阶段的力学行为，以及双重非线性极限承载力安全系数和弹性屈曲安全系数之间的定性的关系，有待进一步研究。