突出测量本质构建面积含义

2021-08-30 03:24陈云

小学教学设计(数学) 2021年8期

文|陈云

面积，是几何学的基本度量之一。面积的认识需要学生明确其本质属性：一是面积即一块区域的大小；二是面积是一种定量刻画。“面的认识”需要学生提升从一维到二维的空间想象能力；“面的度量”则需要学生明确度量的意义，掌握度量的方法，比较和估计“面”的大小，解决有关量（liáng）的实际问题。基于学生已有的知识经验，我们可以看到从“线的认识和度量”到“面的认识和度量”蕴含着许多共性的数学思想和方法，这些思想和方法又会衔接后面“体的认识和度量”，甚至会对所有与“测量”相关的知识有启发和铺垫的作用。因此，在教学中教师需要引导学生整体把握图形和图形测量的本质涵义，帮助学生厘清图形之间的关系，完成对测量的感悟、体验和应用，只有抓住度量的起源和意义，以及一维图形到二维图形的本质区别才能更好地形成空间观念，为图形与几何的后续学习奠定扎实的基础。

一、激活已有经验，感知单位量守恒

弗赖登塔尔指出:“当单位确定后，就可用同一类的数去度量所有的量，这就是数学优点。”可见，确定“单位量”在测量活动中是十分重要的，这是在确定测量的标准，也就是找到了刻画测量对象大小的核心要素。让学生经历“单位量”产生和使用的过程，首先是要充分理解单位量自身的守恒性，如1 厘米的长度、1 平方厘米的大小、1 千克的轻重都是确定不变的，这是单位量基本的数学意义。其次是要促进学生认识和理解被测量整体与测量单位之间关系的，即单位量越多，整体也越大；整体再大，单位量不变，这是使用单位量进行测量过程中体现出来的独特关系。只有让学生充分感悟了以上两点，才能帮助学生建立起单位观念，为测量教学做足铺垫。

为了激活学生已有经验，在“认识面积”之前作为铺垫，教师从“点动成线”开始——

展示一个“调皮的”、跑动的小“点”，学生观察并思考：“点”跑动起来，会在屏幕上留下什么？如果这个“点”朝着一个方向笔直地跑，留下的是什么样的“线”？“点”一直跑、一直跑……这条直直的“线”会有多长呢？

提出问题：什么样的线才有长短？（有边界的线）这个边界其实就是“端点”，有了“边界”的这条线我们就称它为“线段”。紧接着追问：因为有“边界”，所以有长度，有了长短就可以比较，那如何比较两条线段的长短呢？

引发讨论：结合学生的回答，教师引导学生围绕“1 厘米是怎么来的？”“为什么可以用尺子量？”等问题展开讨论，帮助学生理解：1 厘米是约定俗成的一个定量的长度单位，这个长度单位是不变的，然后用这个“单位长度”去和要测量的长度进行比较，数出被测量的长度里含有多少个1 厘米。

“点动成线”让学生在动态中感知“零维”到“一维”的过程，回顾“线段”的比较和测量，激活学生关于测量的已有经验，发现单位量的由来、单位量的可累加，以及初步感知单位量的守恒。

二、实现维度跨越，构建面积含义

多维空间的理解对人类来说是极其困难的，但不妨碍我们从简单的一维、二维入手帮助学生建立空间观念。“线”与“面”的联系在哪里？区别又是什么？这是困扰很多学生的难题，因此造成了“认识面积”过程中的难点之一：学生受长度测量的经验影响（甚至也包括受到一些校外辅导机构超前教学的负面影响），当教师询问如何测量面积时，学生会第一时间想到用尺子去量一个图形的长和宽（或者边长），而对于不规则图形则是一脸茫然。这其实暴露出学生对“形”的认知还停留在“一维”的层面，“长乘宽”和“长＋宽”似乎是差不多的意思，这必然导致学完周长和面积之后，学生极易混淆周长和面积的计算方法。事实上从一维到二维的转化确实是学生空间观念形成的一次重要飞跃，如果不能从二维的角度帮助学生辨别面积的本质意义，学习的过程就是没有意义的。

“认识面积”教学的第二个环节从“线动成面”开始——

想象：一条“线段”动起来会画出什么？通过PPT动态演示，学生得出线段划过的地方就是一个“面”。

猜想：如果这条线段朝着一个方向笔直地跑，留下的是什么样的“面”？线段一直跑、一直跑……这块直直的、长长的，像长方形一样的“面”会有多大呢？

思考：什么样的“面”才有大小？基于前面的经验，学生想到了“边界”。“边界”在哪里？学生发现这个“面”上、下已经有边界了，那是由线段的长度确定的，左边也有“边界”了，那是线段跑动的起点，如果能确定线段跑到了哪里，也就是确定终点，那么右边的“边界”也有了，当任意方向这个“面”都不能再无限延伸时，“面”就有了大小，“面”的大小我们称它为“面积”。“线动成面”的动态演示帮助学生找到了“面”的“边界”在哪里，又是怎么来的，进而感知到“边界”会将某一块区域“封闭”在其中，这一块被围起来的区域就是“面”，因其有“边界”，所以有“面积”。

判断：从身边的物体上找到“面”，判断它们是否有面积，例如：小拇指的指甲盖、大海的海面等等；再聚焦屏幕上的平面图形（图1），判断它们是否有面积。通过这些判断帮助学生理解：当一个图形任意方向上都有“边界”时，它才有面积。

图1

描画：引导学生描画一组图形的边界，当学生突然发现“边界”其实就是周长时无疑是惊讶和喜悦的，从起点回到起点的周长把这个图形围成了一个封闭图形，这个被围起来的一片的大小就是面积。至此，学生明白了一个图形有了周长就会有面积，有了面积也会有周长，因为不论是周长还是面积，都存在于封闭图形上。同时，学生还在图2 这样的比较中发现周长和面积的不同，周长大面积不一定大、面积小周长不一定小（图2①周长相同，面积相同；图2②面积小却周长大，PPT 动态演示，面积越来越小，周长却越来越大），并最终明白周长终究是长度，不管是围成什么形状，拉直了就是一条线，只会向两端延长或缩短；而面积不仅有长度，还得有宽度，必须向不同方向铺开来才会有面积。

图2

三、发挥想象能力，感知二维空间

《数学课程标准（2011年版）》对“空间观念”作出这样的解释：根据几何图形想象出所描述的实际物体、想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。可以看出，想象能力对于“空间观念”的形成很重要。二维图形的大小需要两个维度的数值来刻画，但基于学生的认知能力，如果仅靠文字表达很难帮助学生完成从一维到二维的跨越，也势必会影响学生对空间的感知能力。如果能够引导学生在相关信息的提示下，发挥想象能力，构建出平面图形的模型，并通过二维的比较，获取相应的判断，必定能帮助学生更好地感知二维空间、建立空间观念。

揭示面积涵义之后，引导学生展开想象并进行面积大小的比较——

主动探究：这两组线段跑起来画出的图形分别是什么样的？（出示图3、图4）它们的面积谁大谁小？

图3

图4

适时追问：图形并没有画出来，你怎么就能比出大小呢？引导学生发现：可以通过已有信息想象出两个长方形的样子（在实际教学中，为了便于交流，我们把线段的长看成长方形的宽）。第一组两条线段画出的两个长方形的“长”相同但“宽”不同，“长”相等的长方形，越“宽”面积越大；第二组两条线段画出的两个长方形的“宽”相同但“长”不同，“宽”相等的长方形，越“长”面积越大。

验证小结：PPT 画出完整图形，学生说一说和你想象的图形一样吗？通过两次想象和比较你有什么感受？引导学生发现长方形的面积由“长”和“宽”两个因素共同决定，这两个维度数值的变化都会引起“面”的大小变化，这正是二维图形的本质特点。

四、多种比较方法，探寻面积本质要素

在面积内容的教学中，有些教师会更重视面积计算公式的获得和应用。事实上，学生才刚刚认识面积，就急于使出用小方格测量面积大小的招数，学生过于轻易地获得了长乘宽的计算方法，就会忽略对面积测量的一些本质要素的感悟和体会，这样的学习显然不是最佳的。我们由测量的内涵可知，测量活动的关键是比较，包括直观比较、直接比较和间接比较，其中直观比较和直接比较是间接比较重要的实践和认知基础，学生如果没有充分感知直观比较、直接比较的便利与不足，也就不会感受到“量化”的必要性和价值。在面积大小的比较中，至少应该有这样两个环节：两个图形，一个能完全覆盖另一个，那么外面的图形面积比含在里面的那个图形的面积大；两个图形，相交却彼此不包含，需要通过平移、重叠、剪拼等多元的方式进行比较。只有带领学生经历了以上两个环节，感受了面积的运动、分割和相加的全过程，学生才能离面积问题的实质更近一步。

有了二维观念下的面积概念之后，面积的比较就可以顺利展开——

第一层次的比较：黑板的板面面积和数学书封面的面积谁大谁小？数学书封面的面积和老师手掌掌面的面积谁大谁小？……这些比较直观，很显然较大的图形能覆盖较小的图形，所以通过观察就能发现谁大谁小。

第二层次的比较：如果是如下的不同长方形（PPT 出示图5）：这两个长方形，可以怎么比较它们的大小？学生结合前面的经验提出可以平移再旋转或旋转再平移，使两个图形尽量重叠（重叠的目的是利用等长或等宽，来比较另一个维度的长短）。教师继而追问：图形平移了、旋转了，面积还是原来的面积吗？学生很容易得出：平移只是改变了图形的位置、旋转只是改变了图形的方向，都没有改变它的大小。

图5

第三层次的比较：（PPT 出示图6）这组图形前面的方法都不能用了，还能比吗？学生想到：可以把红色图形平移重叠后多出来的部分剪下来，再移到上面和蓝色图形多出来的部分再重叠比较。那么，剪开再合并起来的图形面积还是原来的那个面积吗？进而又得出面积还是可以相加的。

图6

三个层次的比较，从直观的观察开始，到平移、旋转，再到剪拼、叠加，一步步深入，逐层感知面积的可比较、可叠加，以及运动不变性，同时随着比较难度的不断攀升，“量化”的需求也呼之欲出。

五、打通知识脉络，联结经验学测量

要想完成量化测量，必然要经历这样几个步骤:首先是根据被测量对象的需要选择合适的测量单位（初学时一般会选择比测量对象小的单位量）；其次是用单位量连续覆盖被测量对象（为了尽可能精确要做到无空隙、无重叠）；再次就是数出或者计算出所有的单位总数（如果出现剩余还需讨论剩余部分的处理办法）。这样的测量过程能够得以成立，是因为过程中体现着“测量的传递性”“测量的可加性”“测量的近似性”等测量原理，这些原理正是数学抽象方法和推理方法在测量中的体现。实际操作时，选择测量单位的具体表现就是确定测量工具，我们需要让学生经历选择、获得一个测量工具的过程，这有助于学生对单位量的深入理解，感悟数学模型思想。所以说，“数方格”来求面积的方法，不仅是求面积，也是在定义面积，是基于面积的有限可加性和运动不变性而存在的，也成为了一切面积问题的本源。

经历前三个层次的面积比较，还需要继续增加难度——

引发思考：（出示剪拼后依然无法比较大小的一组长方形）除了刚刚的一些方法，你还能想到不同的办法来比较这两个长方形吗？如果学生思维遇到障碍，不妨引导学生回想课始是怎样比较两条线段的长短的？尺子上的1cm 就是一个小的长度，拿这个小的长度和需要测量长度的线段进行比较，数出这条线段里面含有多少个1cm 就可以了。经验的回顾定能让学生“恍然大悟”，原来可以用一个小的面积和需要测量的长方形进行比较。

动手操作：鼓励学生选择身边的物体测量课前发到小组的大长方形。学生的选择是多元的，有的是数学书的封面、有的是自己的手掌、也有的选择橡皮的一个面……追问：这些东西有什么共同点？原来它们都有面积，它们的面积都比我要测量的长方形小。

反思升华：大家选择了不同的测量工具，你认为哪个更合适？学生发现，测量工具越小、越正正方方，测量起来越准确，剩余的部分也少。那如果出现剩余又该怎么办呢？在一系列操作和追问后，学生对“测量工具”有了充分的感悟，对更合适的“测量工具”也有了迫切的需求。至此，测量神器——小方格也就应运而生了。

应该说，测量的学习和把握对小学生来说的确不是一件容易的事情，正如苏珊博士所说:“儿童对测量概念的理解水平要经过多年的发展，而且儿童之间各有差异。这些复杂因素都使得教学（学习）过程相当复杂。全面掌握一种单位系统需要花费大量时间，但这种付出能在以后学习其他测量单位时获得巨大回报。耐心倾听儿童对过程的解释和大量的实践才能孕育成功。”除了经历这样的过程之外，学生还需要正确表达测量的结果，也就是用数学语言来描述这个度量，并且在进一步表达的过程中产生为了便于人们的交流，需要统一度量衡的需求。