“折”出新精彩 “展”出新天地

杨根生

真题呈现

例1（2020·黑龙江·齐齐哈尔·第23题）综合与实践：在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能. 例如教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣. 在经历图形变换的过程中，同学们进一步发展了空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平;再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图1. （1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线;请判断图1中△ABN是什么特殊三角形. 答： ;进一步计算出∠MNE = °. （2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图2，则∠GBN = °.

拓展延伸：（3）如图3，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT. 求证：四边形SATA'是菱形.

解決问题：（4）如图4，矩形纸片ABCD中，AB = 10，AD = 26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB于点T，交AD于点S，把纸片展平. 同学们经小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9. 请写出以上4个数值中你认为正确的数值 .

追根溯源

原型1 （人教版八年级下册第64页中的“数学活动”）活动1：折纸作60°，30°，15°的角. 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图5）：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开;（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 同时，得到了线段BN. 观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？

这是从矩形得到30°角的好方法，并能得到15°，60°，120°，150°的角. 该题考查等边三角形的判定与性质、矩形和轴对称图形的性质等知识.

原型2（人教版八年级下册第58页第3题）如图6，两张等宽的纸片交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是菱形吗？为什么？

本题主要考查菱形、全等三角形的判定与性质及平面图形的面积等知识.

破解策略

解决例1需要熟知的基本图形有：筝形、等边三角形、菱形、直角三角形.

折纸是动手动脑“做”数学的学习活动，其形式是操作，其本质是对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角分别相等. 据此不难得到本题的解题思路.

解析：（1）如图1，由第一次折叠可得EF垂直平分AB，∴AN = BN，AE = BE，EF⊥AB;

由第二次折叠可得BM垂直平分AN，∠BAM = ∠BNM = 90°，

∴AB = BN，∴AB = AN = BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN = 60°，

∴∠ENB = 30°，∴∠MNE = 60°. 故应填：是，等边三角形，60°.

（2）如图2，由第三次折叠和正方形的性质可得∠ABG = ∠HBG = 45°，

∴∠GBN = ∠ABN - ∠ABG = 15°. 故应填15°.

（3）如图3，由第四次折叠可得ST垂直平分AA'，∴AO = A'O，AA'⊥ST.

∵AD[⫽]BC，∴∠SAO = ∠TA'O，∠ASO = ∠A'TO，

根据“AAS”可证△ASO ≌ △A'TO，可得SO = TO，∴四边形ASTA'是平行四边形.

∵AA'⊥ST，∴四边形SATA'是菱形.

（4）如图4，由第五次折叠可得AT = A'T. 在Rt△A'TB中，A'T>BT，∴AT>10 - AT，∴AT>5.

∵点T在AB上，∴当点T，B重合时，AT有最大值10，∴5

∴正确的数值为7，9. 故应填7，9.

本质感悟：本题是以折纸为背景的四边形综合题，考查矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识进行推理是解题的关键. 此外，证明四边形SATA'为菱形时，菱形的三种判定方法均可用，但以上述方法最为简捷. 请你试一试，并加以比较，从中感悟如何多中选优. 本题通过矩形纸片的折叠与展开，“折”出了新精彩，“展”出了新天地.

原题延伸

变式1 由图1中矩形较短边的长度，计算等边三角形的高.

例2（2020·贵州·黔西南）如图8，对折矩形纸片[ABCD]使[AB]与[DC]重合，得到折痕[EF]，将纸片展平，再一次折叠，使点[D]落到[EF]上点[G]处，并使折痕经过点[A]. 已知[BC=2]，则线段[EG]的长度为 .

解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AD = BC = 2，连接DG，AG，

由例1（1）可知，△ADG是等边三角形，∴DG = AG = AD = 2.

又对折矩形纸片[ABCD]，使[AB]与[DC]重合得到折痕[EF]，

∴EF⊥AD，DE = EA = 1，[∴EG=22-12=3].

变式2 如图9，对折得两个矩形，设BM交EN于点O，研究OB与ON的数量关系.

例3（2020·云南·昆明）如图9，在矩形ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中点. （1）求证：四边形AEFD是矩形;（2）若点M是边AD上一点，BM交EF于点O，点A关于BM的对称点为点N，当点N落在线段EF上时，则有OB = ON. 请说明理由.

解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB = CD，AB[⫽]CD，∠BAD = 90°.

∵AE = EB，DF = FC，∴AE = DF，AE[⫽]DF，∴四边形AEFD是平行四边形.

∵∠BAD = 90°，∴四边形AEFD是矩形.

（2）连接AN，如图10，由例1（1）可知△ABN是等边三角形，BM垂直平分AN，可证△OMN是等边三角形. 由折叠可知，∠MNB = ∠MAB = 90°，可证∠OBN = ∠ONB，∴ON = OB.

变式3 研究矩形两邻边满足什么条件才能折出等边三角形.

例4 如图11，在矩形ABCD中，若AB = a，BC = b，是否一定能折出等边三角形ABN？若不一定，请给出能折出时a与b应满足的关系.

解析：过N作PQ⊥EF，分别交AD，BC于P，Q，则PQ⊥AD，PQ⊥BC.

易知AN = AB = a，PN = [12]AB = [12]a，由勾股定理得AP = [32]a，

因此当b ≥ [32]a时，一定能折出等边三角形ABN.

跟踪检测

对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图12①），再沿CH折叠. 这时发现点E恰好与点D重合（如图12②）. （1）根据以上操作和发现，求CD∶AD的值. （2）将该矩形纸片展开. ①如图12③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB交于点P，再将该矩形纸片展开，求证：∠HPC = 90°;②不借助工具，利用图12④探索一种新的折叠方法，找出与图12③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法. （不需说明理由）

参考答案：（1）[2]. （2）①令过点P的折痕与CD的交点为点Q，连接EH，ED，HQ，证明四边形PQDE是平行四边形和△AHP ≌ △BPC. ②方法1：折叠使得CB边落在CE边上，折痕交AB于点P;方法2：折叠使得AD边落在CD边上，折痕交AB于点P.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校）