寻找基本图形 打开解题之门

刘家良

原题呈现

例（2020·河南·第14题）如图1，在边长为[22]的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 .

考点剖析

1. 知识点：正方形的边、角性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的判定，勾股定理，三角形面积公式，三角形中位线定理.

2. 数学方法：面积法，构造法.

3. 基本图形：如图2，正方形中所含基本图形（条件：BE = CF，结论：CE⊥DF，CE = DF）;如图3，雙中点图形（条件：O为AD，BC的中点，结论：△AOB ≌ △DOC）.

学情分析

思路1：求GH的长度，通常将其放置在直角三角形中，利用勾股定理求得. 如图1，若能证得DF⊥CE，解答问题就有了眉目，这需要同学们熟知正方形中所含基本图形（图2）的结论.

解法1：如图4，设CE，DF交于点S.

∵四边形ABCD为正方形，∴∠A = ∠B = ∠BCD = 90°，AB = BC = CD = [22].

∵点E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE = BE = [2]，CF = BF = [2]，∴BE = CF.

∴△BCE ≌ △CDF（SAS），∴CE = DF，∠BCE = ∠CDF.

∵∠DCF = 90°，∴∠CDF + ∠CFD = 90°，

∴∠BCE + ∠CFD = 90°，∴∠CSF = ∠HSG = 90°.

∵CE = [BE2+BC2] = [（2）2+（22）2] = [10]，∴DF = CE = [10].

∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴CG = [12]CE = [102]，HF = [12]DF = [102].

∵∠DCF = 90°，CS⊥DF，∴[CS⋅DF2] = [CD⋅CF2]，

∴CS = [CD⋅CFDF] = [22×210] = [410]，∴GS = CG - CS = [102-410] = [110].

在Rt△CSF中， FS = [CF2-CS2=（2）2-4102] = [25]，

∴HS = HF - FS = [12]DF - FS = [102-25] = [31010].

在Rt△HSG中，由勾股定理得HG = [HS2+GS2] = [310102+1102] = 1.

思路2：因已知中涉及多条线段的中点，所以要求GH的长度，可将GH置于某个三角形中，使GH成为一条中位线，由三角形中位线定理求解. 如何构造这个三角形是解决本题的关键，这就需要同学们熟知双中点图形（图3）中的结论.

解法2：如图5，连接CH并延长，交AD于点M，连接EM.

∵四边形ABCD为正方形，∴∠A = 90°，AD[⫽]BC，∴∠DMH = ∠FCH.

∵∠DHM = ∠FHC，DH = FH，

∴△DMH ≌ △FCH（AAS），∴MD = FC，MH = CH.

∵EG = CG，∴GH为△CME的中位线，∴GH = [12]ME.

∵点E，F分别是边AB，BC的中点，

∴AE = BE = [2]，CF = BF = [2]，∴MD = [2]，AM = [2].

在Rt△EAM中， ME = [AM2+AE2] = [（2）2+（2）2] = 2，∴GH = [12]ME = 1.

勤于积累

1. 正方形中所含的基本图形（如图2）的结论可推广到等边三角形（如图6，BD = CE）、正五边形（如图7，BF = CG）、正六边形等正多边形中，两线夹角分别等于相应的正多边形的一个内角，即[（n-2）×180°n].

2. 直角三角形的性质：直角三角形的斜边与斜边上的高的积等于两直角边的积.

3. 双中点图形（如图3）的性质：中点 + 平行[⇒]中点.

跟踪检测

（2020·天津·第17题）如图8，[▱]ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG. 若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 .

答案：1.5 （提示：延长CG交BE于点H）

（作者单位：天津市静海区沿庄镇中学）