面向追踪间隔压缩的高速铁路列车运行时空轨迹优化

鲁工圆，王超宇，沈子力，李 力，张守帅，彭其渊

(1.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，四川 成都 610031；3.广州地铁设计研究院股份有限公司，广东 广州 510000)

追踪间隔时间是影响高速铁路(以下简称“高铁”)通过能力的重要因素，也是计算线路通过能力的重要参数[1-2]。其中到达间隔时间是各类追踪间隔时间的瓶颈[2]，受到列车性能、通信信号设备性能、线路条件、区间运行速度的影响。研究如何压缩高铁列车追踪间隔时间，对提高高铁运营组织效率具有重要意义。在各种追踪间隔压缩措施中，设备改造的成本大、周期长；而运用行车组织的方法，在区间采用合理的速度控制措施干预列车运行速度曲线能够以很小的经济成本达到缩短到达间隔时间的目的，但将延长区间运行时分[3]。而如何通过运行过程干预措施在尽量小的区间运行时分代价下，压缩列车追踪间隔时间成为亟待解决的重要问题。本文基于运筹学理论研究列车运行时空轨迹优化问题，寻找在压缩到达间隔时间的同时，尽量少地影响区间运行时分的方法。

国内外专家学者对高铁列车追踪间隔时间压缩问题进行了大量研究，主要从提高列车载运能力、改善线路条件、优化信号机布置、改善闭塞分区及闭塞方式等角度进行。陈荣武等[4]通过限制正线列车的旅行速度及对限速区域进行调整，获得优化列车追踪间隔的参数设置方案。荀径等[5]对城市轨道交通系统中不同闭塞方式的追踪间隔进行仿真，并得出移动闭塞制式下的追踪间隔时间最短的结论。刘海东等[6]对高铁准移动闭塞的铁路区间信号布置进行优化，并以信号数量最少为目标设计了模型求解的启发式仿真方法。吴亮等[7]对列车的追踪间隔时间类型进行分析并通过对动车组追踪模型的研究，在客运专线信号系统下对高铁列车在区间追踪和到达追踪模型进行优化。石先明[8]分析了我国速度为350 km/h客运专线列车的运行速度、追踪间隔时间与加减速度及车站咽喉区长度、道岔区长度的关系。杨欣等[9]通过分析列车的追踪间隔时间得出在追踪运行的列车没有速差并且追踪间隔时间一样时，高铁列车的制动性能对列车的追踪间隔时间的影响很大的结论。王鹏玲等[10]介绍了自适应遗传算法在列车节能优化中的应用，引入了列车限速防护曲线，修正列车速度曲线，提高遗传算法可行解比例。鲁工圆等[3]通过在接近车站的闭塞分区设置速度控制措施来干预列车运行时空轨迹，从而达到压缩到达间隔时间的效果。

Gill等[11]通过优化闭塞分区信号机的布局提高线路的通过能力，并对最优的目标速度集采用启发式梯度算法求解。Takagi[12]采用同步控制的策略，利用移动闭塞列控的便利条件，研究列车最小追踪间隔，但是这种优化与实现运营场景下的列车追踪有很大的差异，其优化理论中的运营场景要求所有列车的启动和制动达到同步才可实现最小追踪距离。Zhou等[13]通过构造三维时空速度网络，建立了列车在不同时空分辨率下列车逐秒运动轨迹和离散化时间的统一建模框架，并提出了基于拉格朗日松弛的求解速度/加速度剖面的动态规划算法。

既有研究少有通过列车运行轨迹优化研究间隔时间压缩的尝试，而轨迹优化不依赖于硬件设备改造，在使用成本、实施难度等方面有很大优势，对于面向追踪间隔时间压缩的列车运行轨迹优化问题来说，面临着追踪间隔时间的压缩需求和区间运行时间保障两方面的挑战。

1 问题描述

高铁列车追踪间隔时间I是指高铁在运用调度集中(Centralized Traffic Control, CTC)行车指挥方式及CTCS-2/3级列车控制系统，以车载信号作为行车凭证，按一次连续速度模式曲线监控高速列车运行条件下，自动闭塞区间内同一方向追踪运行的两列高速列车间的最小间隔时间[1-2]。为找出使得追踪间隔时间足够小且区间运行时间最短的最优列车轨迹，将该轨迹优化问题描述为：在给定准移动闭塞区间的线路条件信息、列车牵引制动性能参数、列控参数、信联闭设备作业时间参数等条件基础上，在高铁列车安全追踪运行和追踪间隔时间的严格约束下，求解使区间运行时分最短的列车速度-距离-时间曲线。

问题的已知条件包括：

(1)动车组 牵引力曲线、列控制动曲线、列车长度、最高运行速度。

(2)线路条件 线路中的坡度、曲线、区间限速情况以及闭塞分区划分，线路最大允许速度。

(3)运行过程 在分析列车运行过程时，为了聚焦问题，将列车运行起点设于出发站一离去闭塞分区信号机，不考虑出发间隔时间限制；终点位于前方站进站信号机，考虑允许进站速度，不考虑接车进路的具体占用过程。

(4)追踪过程 在准移动闭塞制式下，为使列车时空最优轨迹适用于多列列车连续追踪的场景，假设前后两列车的时空运行轨迹保持一致。

2 问题主要变量与轨迹解

主要决策变量见表1。

表1 主要决策变量表

图1 列车时空轨迹相关的变量设置示意图

3 面向追踪间隔时间压缩的列车运行时空轨迹优化模型

基于上述变量设置，构建追踪间隔时间约束下以区间运行时间最短为目标的列车运行时空轨迹优化模型。为保证计算结果的可行性，模型构建考虑了列车运动过程、准移动闭塞规则、线路限速、变量一致性约束等，其中，列车追踪间隔时间以约束条件形式纳入模型，规定列车运行过程中允许的前后列车最大间隔时间。

(1)列车运动过程约束

任意高铁列车的车辆运行必须符合以下运动学约束：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

列车运行过程中受线路条件影响产生的附加阻力由式(6)描述。

根据高铁牵引计算模型[14]，列车在区间线路上运行时加速度、减速度的理论最大值可以表示为其牵引加速度、制动减速度、速度与线路条件的函数。基于式 (4)～式 (6)，式 (7)、式 (8)分别给出了每个时刻列车的最大加速度与减速度。

(2)准移动闭塞规则

在准移动闭塞条件下，后行列车的打靶点应保持在前行列车所在闭塞分区起点之前，在前行列车出清所在闭塞分区n并占用闭塞分区n+1后，后行列车的打靶点方可越过闭塞分区n的起点，但仍需保持在闭塞分区n+1起点之前。从而保证前后列车间距始终大于后行列车的制动距离，确保行车安全。该规则由下述约束条件表达。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：dn为编号n的闭塞分区起点在区间线路中的对应里程；Tk为列车司机开始制动到列车制动力完全生效所需的空走时间；lc为列车编组长度；M为一足够大的正数；TZ为前行列车到达车站进站信号机至信号机再次为后行列车开放的信号再开放时间，由前行列车占用与解锁进路、道岔转换、信号机开放、CTC轮询等组成，是影响列车到达间隔时间的重要因素之一[3]。

图2 不同线路坡度对CRH380BL型动车组制动距离影响

(3)线路限速约束

由于含有长大下坡、小半径曲线、隧道、涵洞、桥梁等的区间线路会对列车高速运行产生安全隐患，高速铁路列车在区间中追踪运行除了需要遵循准移动闭塞规则外，还应保证运行过程中符合区间限速、道岔限速的约束。

(15)

(16)

(4)列车追踪间隔约束

为保证所计算列车运行轨迹能够可循环的执行，模型要求前后车的运行轨迹相同，同时前后列车的尾部到达相同位置的时间应满足严格的列车追踪间隔时间Ic要求。

(17)

(18)

在准移动闭塞规则下，列车追踪间隔时间即为前后列车进入模型的时差。式(18)严格要求前行列车在时刻t到达某位置后，后行列车c在时刻t+Ic方能到达该位置，即任意时刻应该满足列车追踪间隔时间要求。

(5)变量一致性约束

列车运动过程约束规定了建立在基础物理规则上的多个变量，这些变量构建了一个依赖于离散化时空网络的可行的列车运行轨迹。但是它们在数学意义上是相互独立的，为此，需要对变量进行整合，以保证不同的变量能够描述相同列车的轨迹。

(19)

(20)

(21)

式 (19)、式 (20)将列车运行过程中每个时刻的实际位置分配到唯一对应的离散化时空网格中。约束式 (21)保证列车必须遍历所有分段，以确保时空网络的完整性和稳定性。

此外，为完善模型的构建，设置模型初始值和终值为

(22)

(23)

(24)

式 (22)、式 (23)给定第一辆列车进入模型的初速度和起始位置；式 (24)则确保每一列车都运行通过整条线路。

(6)目标函数

列车运行轨迹优化模型的目标为最小化区间运行时分，每列车在区间的运行时间可以通过列车运行轨迹解进行判断，本模型的目标函数，即列车的区间运行时间为

(25)

(7)面向追踪间隔时间压缩的列车时空运行轨迹优化模型

基于上述约束条件与目标函数，可形成面向追踪间隔时间压缩的列车时空运行轨迹优化模型为

目标函数：式(25)

s.t. 列车运动过程约束：式(1)～式(8)

准移动闭塞规则：式(9)～式(14)

线路限速约束：式(15)～式(16)

列车追踪运行约束：式(17)～式(18)

变量一致性约束：式(19)～式(21)

初始值/终值：式(22)～式(24)

该模型不含非线性项，属于混合整数线性规划模型，能够使用商业求解器进行求解。

(8)模型误差分析

为降低模型解的搜索复杂度、提升模型求解效率，本文构建了基于离散化时空网络的列车运动模型。该模型利用平均速度计划变速运行的列车运动距离(约束 (3))会产生与时域离散化步长τ及列车当前加速度相关的系统误差。

以下文算例实验为例进行模型误差分析，选取时间精度τ=5 s，若采取最大牵引加速度a+=0.4 m/s2，则在一个时间步长内产生的偏差值Δ为

(26)

对比实验线路总长(48 km)或动车组编组长度(400 m)，每个时间步长Δ=5 m的偏差值在可接受范围内。

4 昆山—上海虹桥高铁列车运行轨迹优化算例实验

以京沪线昆山南站京沪场—上海虹桥高速场下行方向为例进行算例实验，实验目的：①验证所提出模型的有效性;②通过实验分析线路条件以及进站信号再开放时间对列车到达间隔时间的影响。算例实验分为3部分：①在给定线路条件、列车性能参数条件下，计算不同列车追踪间隔I要求下的最短区间运行时间；②研究进站信号再开放时间TZ与列车到达追踪间隔时间的关系；③分析线路条件对列车追踪间隔时间的影响。

算例实验已知条件如下，高铁线路起点为昆山南站一离去闭塞分区的信号机，终点为上海虹桥高速场进站信号机，线路总长为48.06 km；线路坡道、曲线、限速见表2～表4；线路最大允许速度Vmax=325 km/h。实验统一采用CRH380BL型动车组，列车牵引质量1 000 t，8动8拖。列车最大牵引加速度a+=0.4 m/s2, 列车制动空走时间Tk=3 s，车站咽喉区最大允许速度Vd=80 km/h。时间精度τ=5 s、空间精度ε=500 m、问题时间域为[0，1 000]s。所有实验都在运行Windows 10的Intel工作站上进行，核心为6线程3.2 GHz处理器、32 GB内存，由CPLEX 12.9实现。部分主要线路条件见表2～表4。

表2 线路限速

表3 线路主要坡道

表4 线路曲线

4.1 昆山南—上海虹桥区间的列车运行轨迹优化实验

本文所提出模型在固定的追踪间隔时间I下求解使区间运行时间最小的列车运行轨迹，本实验在给定线路曲线限速、坡度影响下，分别以180、175、170、…、 150 s为追踪间隔时间要求，进行实验求解列车运行轨迹，实验编号为1a～1g。7个实验中，信号再开放时间TZ均设为110 s。

CPLEX在实验1a～1f中求得了给定追踪间隔时间下的列车运行轨迹最优解。各实验得到的列车运行轨迹见图3。实验1g未在给定时间(3 600 s)内找到可行解，即无法找到能使追踪间隔时间达到150 s的列车运行轨迹，各实验的目标函数值、求解时间见表 5。

表5 算例1实验结果

从实验结果可知，当前线路条件下目标区间的列车追踪间隔时间最小值在150～155 s之间，与文献[3]仿真实验结果一致，文献[3]通过人为增设区间限速使列车在临近车站时提前制动以实现列车到达追踪间隔时间压缩，但是该方法无法统筹考虑区间线路条件与列车整体行驶过程，会付出较大的列车区间运行时间代价。而本文所提出方法在列车追踪间隔时间从180 s降至160 s过程中，区间运行时间均保持一致，仅在追踪间隔降至155 s时有10 s区间运行时间增加，说明列车运行时空轨迹优化在追踪间隔时间约束下达到了缩短区间运行时分的效果。

图3 列车追踪间隔时间轨迹解

由图3可见，后车打靶点位置与前车的距离随着追踪间隔时间减少有少量缩短，但一直保持一定距离，未见相互贴合，说明在列车运行轨迹方面有足够的安全冗余距离。而在实验1f中前后车的追踪间隔时间无法进一步缩短，其原因在于除了制动距离之外，前后车还需为信号再开放时间TZ留有充分空间，在实验1f的最后时刻，TZ的开始和结束点已分别与前车位置和后车紧急制动位置重合，说明列车制动消耗的时间与TZ之和已达前后车追踪间隔时间允许的最小值，因此在后续实验中模型无法找出最优解。

由实验1计算结果可知，在追踪间隔时间在从180 s下降至160 s过程中，区间运行时间未见增加。该区间在给定条件下，到达间隔时间最多可压缩至155 s，而此时追踪间隔时间瓶颈在于信号再开放时间TZ(图3(f))，即列车进站的到达过程，随后的实验将分析信号再开放时间对追踪间隔时间的具体影响。

4.2 信号再开放时间对追踪间隔时间的影响

根据实验1的轨迹解及结论分析，实验区间到达间隔时间的瓶颈在于较长的进站信号再开放时间(TZ)，该时间主要由前行列车的进路占用及解锁时间、进路办理时间、CTC轮询时间等组成，同时也包括列车整体长度通过进站信号机过程所消耗的时间。在分段解锁条件下，其值在前后行列车占用不同到发线、占用不同进路的情况下可能不同。因此本实验旨在通过求解在不同进路办理时间下列车的最短追踪间隔时间和对应区间运行时间，分析信号再开放时间对追踪间隔时间的影响。

本实验创建算例2a～2 g，每个实验以时间步长τ为单位逐次降低进路办理时间，即TZ取值从110 s逐渐降至80 s。对于每一个TZ值进行多次实验逐渐降低约束中要求的到达间隔时间，取到达间隔最小，且能够求得最优解的实验作为有效实验，记录对应到达间隔时间数值与区间运行时间。结果见表 6。

表6 实验2算例结果 s

由表6可知，在信号再开放时间从110 s缩短至80 s过程中，列车到达间隔时间进一步得到了压缩。当TZ≥90 s(实验2a～2e)时，随着TZ减小，最短追踪间隔时间随之减小，对应区间运行时间逐步增大，说明缩短信号再开放时间能够起到进一步压缩到达间隔时间的作用，该区间到达间隔时间压缩到145 s及其以下时，需付出一定的区间运行时间代价。当Tk≤90 s(实验2e～2 g)时，最小追踪间隔时间及区间运行时间不再产生变化，缩短信号再开放时间措施对追踪间隔时间压缩的效果达到瓶颈。

为找出实验2列车追踪间隔时间达到瓶颈的原因，对瓶颈状态下的列车运行轨迹进行分析，实验2g的列车时间-距离曲线见图 4。由图4可见，当TZ=80 s时，后行列车的虚拟打靶点在进站信号再开放时与终点站进站信号机并未重合，到达间隔时间仍有一定冗余(Δt)，说明此时到达追踪间隔时间已不是追踪间隔时间瓶颈。前行列车在占用区间中最长的闭塞分区(n=20，d21-d20=7.04 km)的过程中，后行列车必须在进入闭塞分区20之前进行制动以确保其虚拟打靶点始终位于前行列车所在的闭塞分区之外，如图4中的后行列车在闭塞分区13～15处的制动过程，过长的闭塞分区导致前后列车须保持的间隔距离加大，使得此处的区间追踪间隔时间成为新的瓶颈。

图4 实验2g列车时间-距离曲线

4.3 线路条件对到达间隔时间的影响

表7 算例3实验结果 s

根据表7中场景2的计算结果，列车追踪间隔时间在TZ≥90 s(实验3a～3e)时相较场景1并无变化，而当TZ≤85 s(实验3f～3 g)时有微量缩减(5 s)。总体来讲，不同信号再开放时间TZ下，两场景下中的最小到达间隔时间差异不大。而两场景中在最优列车运行轨迹下的区间运行时间相差较多，达25～30 s，由此可见对于本实验线路，线路条件更多影响的是区间运行时间。

实验3 g在场景1和场景2下的列车距离-速度曲线见图5，图底部为对应场景下以ε为单位进行空间离散化的平均坡度表。除保留区间首尾因连接咽喉区道岔产生的限速要求(式 (16))外，场景2实验取消了低于允许速度的区间限速及所有坡度和曲线。

图5 实验3g距离-速度曲线

综上，在取消坡度、曲线参数后，列车的速度曲线更加平缓；而取消区间限速可以使列车更长时间全速行驶，压缩区间运行时间效果明显。在追踪间隔时间压缩方面，是否取消坡度影响及曲线限速在本算例场景中无显著影响，最小追踪间隔时间在TZ≤85 s时由135 s减小至130 s。

5 结论

到达间隔时间是高铁列车追踪间隔时间压缩的关键瓶颈，为在压缩到达间隔时间的同时，实现尽量小的区间运行时间，提出了以间隔时间为约束的列车运行时空轨迹优化模型，该模型为混合整数线性规划模型，能够使用商业优化软件求解得到最优解。以京沪高铁昆山南—上海虹桥下行方向区间线路为例，基于所提出模型进行了数值计算实验，得到如下结论：

(1)模型能够在规定的列车追踪间隔时间要求下，求解得到使得区间运行时间最短的列车运行时空轨迹，在实验区间到达间隔压缩到160 s的情况下，不增加区间运行时间，优于以往理论研究结果。

(2)在达到列车最优时空轨迹的基础上，接车进站过程的信号再开放时间是制约到达间隔时间的重要因素，缩短该参数是压缩到达间隔时间的有效手段，其途径包括充分利用分段解锁、缩短CTC轮询、加快进路排列及信号转换时间等。当信号再开放时间压缩至一定程度时，瓶颈将转变为区间追踪间隔时间。

(3)在列车运行时空轨迹得到优化的情况下，高铁线路条件，如线路曲线、坡度、限速等，更多影响列车区间运行时间，对列车追踪间隔时间虽有影响，但并不显著。

(4)面向追踪间隔时间压缩的列车运行轨迹优化方法能够消除动车驾驶习惯、牵引计算逻辑等方面差异性的干扰，得到最优列车运行轨迹进行追踪间隔时间压缩措施研究，具有更高的可靠性。

由于本文所述方法采用了时间与空间双方面离散化、加减速度分段函数的方法来保证模型的线性特征，以便求得最优解，未来研究工作将在本文所得到的5 s精度列车最优轨迹的基础上，进一步研究如何在保证运行轨迹最优的基础上提高模型与方法精度。此外，将在后续研究过程中发掘在不同线路条件时，给定追踪间隔时间参数下的列车运行时空最优轨迹的普适规律。将列车时空优化轨迹的变化规律提炼为指导实践的方法并在真实场景中有效应用，也是接下来研究工作的重要内容。