物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则及应用分析

邵 云

(南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171)

通常的光学教材中较少介绍物点经平面界面折射成像的问题[1,2]，也鲜有文章详细研究该问题，但这恰恰又是一个十分基础而又难以回避的问题，人们在日常生活与日常教学中经常遇到．本文将在笔者既往研究[3,4]的基础上，采用较简洁的思路，推导出所谓的“物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则”，并将其应用于生活中两个典型实例的分析及一个个案的研究，获得了一些有意义的结论，希望借此能为读者提供一些认识与参考．

1 物点P经平行介质界面的二次折射成像

如图1所示，有3层平行介质，折射率分别为n1、n2、n3；设一物点P从介质1中h深度处发出一细束光线，它对厚度为b的介质2的入射角为i，折射角为j，它在介质3中的出射角为k，则根据折射定律有

n1sini=n2sinj=n3sink

(1)

不难看出，介质3中的出射光线l在图1直角坐标系中的直线方程为

y=cotk(x-htani-btanj)

(2)

图1 物点P经平行介质界面的二次折射成像示意图

与此同时，按照图1中的成像规则，设光线角度作相应的微小变化：i→i+Δi、j→j+Δj、k→k+Δk，则得图1中的出射光线m，其直线方程为

y=cot(k+Δk)[x-htan (i+Δi)-btan (j+Δj)]

(3)

联立式(2)、(3)可求得图1中像点P′的x坐标为

xP′=

鉴于成像要求Δi、Δj、Δk皆→0，且i、j、k相互关联，因此有

(4)

同理, 解得像点P′的y坐标为

(5)

由式(1)结合三角函数知识可得

(6)

(7)

将式(6)、(7)代入式(4)、(5)，计算整理便得

(8)

(9)

当出射角k=0或k→0时，式(8)、(9)可分别简化为

xP′=0

2 物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则

其实，若令式(8)、(9)中的b=0，则得物点P经单个界面的折射成像位置坐标

这与文献[3,6]中的结论是一致的．可见，式(8)、(9)描述的实际上是两个单界面成像结果的叠加，即介质1中h深度处的物点直接在介质3中成像，叠加上介质2中b深度处的物点同样直接在介质3中成像，并且这两个成像的出射角即视角相同，同为k．显然，这是一个有意义的结论．回顾上一节的求解过程即可看出，若图1中再增加几层介质，所得像点P′的坐标将与式(8)、(9)类似——呈现累加的形式．我们可以把这里的这种成像结果的叠加性质权且称为“物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则”，其形式为

(10)

(11)

其中N为介质层数，bα为诸平行介质层的厚度，b1=h，x轴仍处在最顶层介质(nN)的底部．

参见图1，若平行介质中包含折射率连续变化的部分，且最顶层介质为空气，则式(10)、(11)可改写成如下更一般的积分形式

(12)

(13)

其中B为介质的总厚度，折射率n为坐标y的函数，有n=n(y)．

3 式(8)、(9)的几种特殊情形讨论

若图1中介质1、2、3分别为水、玻璃、空气，则式(8)、(9)改写为

(14)

(15)

此时若令b→0，则式(14)、(15)退化为

(16)

(17)

此即文献[3]中水下物点的虚像位置坐标．同理，若令式(14)和式(15)中的h→0，则式(14)、(15)退化为

(18)

(19)

这显然是玻璃中b深度处的物点(即图1中的Q点)经玻璃-空气界面折射成像的虚像位置坐标．式(16)、(17)与式(18)、(19)形式相同，描述的都是物点经平面界面一次折射成像的结果．

若图1中介质1、2、3分别为空气、玻璃、空气，则式(8)、(9)可简化为

(20)

(21)

此即空气中的物点P经玻璃砖前后表面二次折射成像的像点位置坐标．对比式(18)、(19)与式(20)、(21)可见，此时P的像点位置，在相同的视角k下，就相当于Q的像点位置“下移”了h距离．

4 游泳池中泳者“身首分离”折射现象解释

在一个偶然的机会，笔者看到一泳者在游泳池中游泳的短视频，如图2所示，视频中该泳者在水面上的人脸实物与水面下的身体虚像之间竟然出现如此大的“分离”，着实令人惊讶．

严格讲，这里是光线经水-玻璃-空气的二次折射成像现象，但是由于游泳池的玻璃壁相对很薄，即图1中b<

从图3可见，在同一视角k下，观察者越远，物、像在x方向上的视觉分离就越大；与此同时，数值计算又表明，当观察者的距离一定时，视角k越大，物、像在x方向上的视觉分离也越大．至此，图2中泳者的“身首分离”现象得到了充分解释．

图2 游泳池中泳者“身首分离”的折射现象

图3 人眼看到的水上物点(脸)和水下像点(身)位置

5 空气中物点经方玻璃砖二次折射成像的特点分析

空气中的物点P经方玻璃砖二次折射成像P′的位置坐标如式(20)、(21)所示．若设h=3 cm、b=4 cm，则根据式(20)、(21)可作出像点P′随视角k的位置变化轨迹，如图4所示．如上文所言，P′的位置就相当于Q点在相同视角下的像点位置下移了h距离．鉴于玻璃砖上下方皆空气，从上文中的“物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则”很容易得出该结论．这便是空气中玻璃砖等平行介质成像的基本特征．

图4 空气中物点P经方玻璃砖二次折射成像点P′随视角k的变化

由此可见，当人眼在同一视角下透过玻璃砖观察时，无论物点远近，物点和像点的相对位置总是统一而固定的，它们相对静止，也将同步移动．当人眼从远处同一位置透过玻璃砖观察，或者人眼在近处观察玻璃砖对面远处的物体时，只要物体的尺度不大，人眼的视角均可视作统一，结合图4中x方向上的平移对称性便知：此时物体的三维虚像将与物体的形状近似“全等”，几无畸变，并且与物体同步移动．当然，随着物体的持续移动，视角的逐渐变化，像与物之间的相对位置也将发生变化．

当人眼在近处透过一较厚的玻璃砖观察对面近处一较大的物体时，由于物体上各物点视角的不同，参见图4，因此其虚像的大小、形状、方位相对于实物均可能产生一定的畸变．不过这种畸变实际上并不大，比透镜产生的畸变要小得多．现在桌面纸上画一个圆，上面放置一块10 cm厚的玻璃砖，并将该玻璃砖分别向操作者倾斜30°、45°、60°，而操作者则手持手机从侧面也分别以30°、45°、60°的视角进行拍摄，则获得图5中的三张照片，其中密切的虚线椭圆系笔者后期补上．由图5可见，照片中椭圆(即视觉中的圆)的畸变并不大，但与玻璃砖的倾角及拍摄视角正相关，倾斜越大，畸变越显著．

此外，倘若玻璃砖很薄即b→0，则由式(20)、(21)分别得xP′→0、yP′→-h．这就意味着玻璃砖可被忽略，此时无论视角大小、距离远近，像点与物点总基本重合，虚像与物体也基本重合，且两者完全同步移动．这便是人们通常使用薄玻璃窗户的光学依据．

另外，从图4中可以看到，虽然视角k可以趋于90°，即假设玻璃砖无限长，两个折射点均在x轴方向上无穷远处，并且人眼也是在∞远处观察，但是像点却在图中k=90°的像点位置处，颇为有趣！笔者还发现一个有趣的现象：当隔着玻璃砖去斜俯视一支横着的铅笔时，人眼会觉得铅笔的虚像部分在实物的正上方或远上方，如图6，而未必如图4中那样在近处上方．显然，这是视角和人眼对远近的不敏感所带来的错觉，正如图2中那样．

图5 玻璃砖向内倾角与近侧拍视角一致时拍得的玻璃砖对面的圆

图6 俯拍10 cm厚玻璃砖对面的铅笔

6 空气中的物点经折射率线性变化介质的折射成像

如图7所示，设物点P到介质下表面的垂直距离为h，介质的厚度为b，介质的折射率为n=n0-αy(此处α为比例常量)，故而介质上、下表面的折射率分别为n0、n0+αb．显然，此介质中的折射光线是曲线，当α>0时，越接近介质的上表面，折射光线越平缓．

图7 空气中点P经折射率线性变化介质的折射成像示意图

根据式(12)、(13)并结合图7可得像点P′的坐标为

(22)

(23)

经积分得

(24)

(25)

其中n上、n下分别为图7中介质上、下表面的折射率n0和n0+αb．

若令h=0，b=1 m，n0=1.3，α=0.2 m-1，则有n上=1.3，n下=1.5．将这些数据代入式(24)、(25)，则得当物点P处在介质底部(图7中Q点)时，从介质上方的空气中所观察到的虚像点位置坐标xP′、yP′，进而可作出此虚像点随视角k的变化轨迹，如图8所示．图8中一同绘出在n=1.3,1.5的均匀介质中的像点轨迹作为参照．由图8可见，这里折射率按n=1.3-0.2y线性变化的介质中的像点轨迹，正如预期，被夹在n=1.3,1.5两均匀介质中的像点轨迹之间，参见式(10)～(13)．图9给出n=1.3-0.2y与n=1.4两种介质中的像点轨迹对比图，表1为其具体数据．从表1可见，除了在k=80°～90°大视角时两者像点的x坐标存在近1 cm的差距外，其他像点坐标之间的差距均很小，在视觉上几乎可以被忽略(见图9)．这就是说，除了在k=80°～90°的大视角情形下略有差别外，n=1.3-0.2y与n=1.4这两种介质在空气中对物点P的折射成像几乎等价！这一点确实有点出乎意料，却又似在预料之中！事实上，即使是n上=1.2、n下=2如此大折射率跨距的线性变化介质(n=1.2-0.8y)，它在空气中对物点P的折射成像，与具有平均折射率n=1.6的均匀介质相比，除了k=80°～90°的大视角情形外，像点位置也相当接近，见图10．

图8 物点P分别经n =1.3、1.3-0.2y、1.5三种介质折射成像的像点位置随视角k的变化轨迹

图9 物点P分别经n =1.3-0.2y、1.4两种介质折射成像的像点位置随视角k的变化轨迹

表1 物点P分别经n =1.3-0.2y, 1.4两种介质折射成像的像点坐标及彼此差距

图10 物点P分别经4种介质折射成像的像点位置随视角k的变化轨迹

需要指出的是，若仅仅将图7中的介质上下颠倒，变成折射率自下而上线性递增的介质，那么从上文式(12)、(13)及式(22)、(23)易见，它对于空气中物点P的折射成像位置(坐标)，在相同的视角k下将保持不变！于是可知，相应的像点位置随视角k的变化轨迹也将与图8—图10等完全一致．推而广之，不难发现，若前后颠倒任何折射率按层(均匀或不均匀)变化的介质，其外物点P的折射成像位置，在相同的视角下，也总是不变的！不难看出，这些性质实际上是本文“叠加法则”的必然结果！

7 总结与鸣谢

在本文第1、2节中，笔者基于既往的研究心得，选择了一种较为简便、自然的推理方法，推导出所谓的“物点经多层平行介质界面折射成像的叠加法则”．从理论上讲，该方法同样也适用于其它非平行介质平面界面的折射成像推导．笔者以为，该“法则”是一个十分有意义的结论，使用方便．本文运用该“法则”不仅解释了游泳池中泳女的“身首分离”现象和方玻璃砖的成像特点，而且还计算出空气中物点经折射率线性变化介质的折射成像位置，即式(24)、(25)．通过作图，笔者发现，除了在k=80°～90°的大视角情形外，n=1.3-0.2y与n=1.4的这两种1 m厚介质，对于空气中物点P的折射成像几乎完全一致；此外，即使是1 m厚n=1.2-0.8y的这种大折射率跨距的线性介质，它对空气中物点P的折射成像位置，也与具有平均折射率n=1.6的均匀介质相当接近．当然，如果保持线性介质上、下表面的折射率n上、n下不变而减小介质的厚度b(即增大α)，那么由式(20)、(21)、(24)、(25)可知，图8—图10中诸像点的坐标将同步减小，即上述像点的位置将更加接近！

本文中“叠加法则”的一个必然的结果便是，若前后颠倒任何折射率按层(均匀或不均匀)变化的介质，这对于介质外物点P的折射成像结果，实际上别无二致！

致谢：本文近1/3的篇幅是在审稿老师及主编老师的敦促、启发下得以完成和完善的，获得很多新的发现．在此向两位老师表示由衷的感谢！同时向《大学物理》杂志严谨、认真的工作作风致以敬意！