一道高考题错误解法的反思

冯世伟

(河南省新乡市第二中学 453000)

在讲排列组合复习课时，学生A拿着资料问我下面的一道题：

题目某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图1所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有____种(用数字作答).

此题是高考理科填空题第16题 (重庆卷)，这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，当时就给学生如下分析：由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1处有3种选择，点B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(种)方法.看数据与答案相符，当时还有点沾沾自喜的“成就感”.在第二天上课时我就将此题在班里讲了一下.

学生B说：“老师，您的解题思路有问题”.

我当时持有怀疑的心理，为了鼓励学生B，我还是说：“请你说说错误之处”.

学生B说：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可导致最终只使用了三种颜色的情况出现”.

对呀!题目要求每种颜色的灯泡都至少用一个，我向同学们说：我知道，我错了！究竟错在何处呢，为什么我的思路所得数据又和答案“如此完美的相符”呢？同学们发现了老师的错误，真是激情高涨，为了能尽快地纠正老师的错误，当时在班内就热火朝天地讨论开了.

题意分析这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，解题时抓住题意，“同一条线段两端的灯泡不同色”，同时要注意“每种颜色都要使用”的限制.

错解由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1有3种选择，B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(种)方法.

错解分析错误1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可导致最终只使用了三种颜色的情况出现.

错误2：染A1固然有3种方法，但只有A1与B同色时，B1才有3种方法，否则就只有2种.

错误3：对于A1，B1的不同染色,C1的染法不总是唯一确定的，如，A1与B1中有一个是第四种颜色，另一个与C同色时，C1有两种染法(与A或B同色).

几处错误“交织”在一起，既有“增根”(不是重复，而是不符合题意)，又有“丢根”，而且何处“增”多少，何处“丢”多少，已难于用简短的语言交代清楚.“难能可贵的”是，其得数与正确答案相同！这正是该错误的隐蔽之处.错解之错是思路之错，不可容忍，答案的“一致”仅仅是题设的数据造成的巧合，在数据改变之后，以这样的错误思路解题势必铸成大错，这也是危害所在，解这类问题，直接“分步”的过程中，不分类讨论几乎是不可能的.

下面看一道数学联赛题(1995年高中数学联赛)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？

方法1 以颜色为主分类讨论

方法2以区域为主分步计数(可以以相邻颜色最多的区域开始)

第一步先涂A，有5种，第二步再涂D(与A不同色)有4种，第三步涂E(与A，B不同色)有3种，此时只剩2种颜色染B，C，对角点可同色，C，A同色时，B与A(C)，E不同色有3种；C，A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种选择的颜色，从而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420种.

推广1 用5种颜色将n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=15[3n-1+(-1)n-2]；

推广2用m(m≥4)种颜色将n(n≥3)棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有m种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=m(m-2)[(m-2)n-1+(-1)n].

解题反思错解给了我们反思的机会，让我们更加深刻地认识到排列组合的本质内涵，分类计数原理(加法计数原理)和分步计数原理(乘法计数原理)是解决排列组合问题的最根本的方法.